1.11. Определение линейного пространства

1.11. Определение линейного пространства

Высшая математика > 1. Элементы линейной алгебры > 1.11. Определение линейного пространства

Определение 1

Линейным (векторным) пространством называется множество , состоящее из элементов любой природы, в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на число:

· ;

· ;

удовлетворяющие следующим условиям:

1) ;

2) ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) существует нулевой элемент , такой что: ;

7) существует противоположный элемент , такой что: .

Элементы линейного пространства называются векторами.

Пример 1

- множество вещественных чисел - образует линейное пространство.

Пример 2

- множество вещественных положительных чисел - не является линейным пространством, так как: , .

Пример 3

Множество столбцов вида: образует линейное пространство, так как на нем определены линейные операции:

, .

Первые пять свойств очевидны, они следуют из свойств, которым подчиняются линейные операции с матрицами, нулевым элементом является столбец: , а противоположным элементом для является .

Определение 2

Множество столбцов размерности образует линейное пространство . Каждый элемент этого пространства: называется вектором.