1.3. Свойства определителей

1.3. Свойства определителей

Высшая математика > 1. Элементы линейной алгебры > 1.3. Свойства определителей

Определение 1

Матрица, полученная из данной матрицы заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной по отношению к данной, и обозначается: .

Свойство 1
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной.
Свойство 2
Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак.
*Свойство 3*
Определитель с двумя пропорциональными (в частности, равными) строками (столбцами) равен нулю.
*Свойство 4*
Если в определителе строка (столбец) целиком состоит из нулей, то определитель равен нулю.
*Свойство 5*
Общий множитель всех элементов какой либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
*Свойство 6*
Правило сложения определителей:
, т.е. если каждый элемент некоторой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, причем в одном из них соответствующая строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а в другом - из вторых слагаемых, остальные же строки (столбцы) - те же, что и в исходном определителе.
*Свойство 7*
Определитель не изменится, если ко всем элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число: .

Определение 2

Верхней треугольной матрицей называется матрица вида: .

Определение 3

Нижней треугольной матрицей называется матрица вида: .

Определение 4

Диагональной матрицей называется матрица вида: .

Свойство 8

Определитель диагональной, треугольной (верхней и нижней) матрицы равен произведению диагональных элементов.

Определение 5

Минором элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием -ой строки и-ого столбца. Обозначается: .

Замечание 1

Минор - это определитель, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Определение 6

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется число: , где - соответствующий минор.

Пример 1

Дан определитель: . Вычислить и

Решение

Так как нужно вычислить минор и алгебраическое дополнение элемента , вычеркиваем в определителе вторую строку и третий столбец: . Тогда: , .

Замечание 2

Так как знак перед минором в алгебраическом дополнении определяется только местом элемента в определителе, то правило выбора знаков выглядит следующим образом:

Теорема разложения

Определитель равен сумме произведений элементов какой - либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Это означает, что если взять в определителе -ую строку, то его величину можно вычислить по следующей формуле: . Такой способ вычисления определителя называется разложением его по элементам -ой строки (аналогично определяется разложение определителя по элементам -ого столбца).

Пример 2

Вычислить определитель: , разложив его по элементам первого столбца.

Решение

1 способ

2 способ

Используя 7-ое свойство, обратим некоторые элементы первого столбца в ноль. Это упростит вычисление определителя. Умножим первую строку на (-3) и прибавим ко второй строке, затем умножим первую строку на (-7) и прибавим к третьей строке: . Заметим, что вторая строка имеет общий множитель (-2), а третья - (-1). Поэтому, применяя дважды 5-ое свойство, получим: . В первом столбце остался лишь один элемент, отличный от нуля. Тогда, разложив определитель по элементам первого столбца, получим: .

Свойство 10

Сумма произведений элементов какой - либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Например, сумма произведений элементов первой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов второй строки равна нулю: .