3.1.2. Плоскость, заданная точкой и нормальным вектором. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей

Высшая математика > 3. Аналитическая геометрия > 3.1. Плоскость и прямая в пространстве > 3.1.2. Плоскость, заданная точкой и нормальным вектором. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей

Уравнение плоскости с нормальным вектором

Уравнение

где - координаты любой точки, принадлежащей плоскости, - координаты любого вектора , перпендикулярного плоскости, называется уравнением плоскости с нормальным вектором. Вектор называется нормальным вектором.

	Теорема
	Если две плоскости заданы уравнениями и , то косинус угла между ними определяется по формуле:

	.
	Условие параллельности плоскостей имеет вид:
	, или .
	Условие перпендикулярности плоскостей определяется из соотношения:
	, или .

Задача 1
Какие из заданных точек , , , принадлежат плоскости, заданной уравнением ?
Решение
Чтобы выяснить, лежит ли точка в плоскости, надо в уравнение плоскости подставить ее координаты. Поскольку , , , , то заданной плоскости принадлежат только точки и .
Ответ:
и .

Задача 2
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , если .
Решение
Вектор является нормальным вектором плоскости. В уравнение подставим вместо координаты вектора , а вместо - координаты точки . Получим , или .
Ответ:
.

Задача 3
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно плоскости, заданной уравнением .
Решение
Уравнение плоскости будем искать в виде: . Вместо подставим в это уравнение координаты точки . Из уравнения заданной плоскости найдем координаты ее нормального вектора . Так как плоскости параллельны, то этот вектор является нормальным и для искомой плоскости. Подставив его координаты в уравнение, получим , или .
Ответ:

Задача 4
Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями и .
Решение
Нормальные векторы заданных плоскостей , . Если - угол между плоскостями, то . Следовательно, угол .
Ответ
.

Задача 5
При каких значениях и заданные плоскости , параллельны?
Решение
Нормальные векторы заданных плоскостей , . Из условия параллельности следует: . Тогда и .
Ответ
, .