 Теорема |
|
Если плоскость пересекает все три координатные оси и заданы
абсцисса a точки пересечения плоскости с осью  , ордината b точки пересечения плоскости с осью Oy и аппликата c точки пересечения плоскости с осью Oz, то уравнение плоскости может быть
записано в виде
 .
Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках, а числа a, b и c - <отрезками>. |
| Доказательство |
|
Для доказательства воспользуемся тем, что заданная плоскость
проходит через точки A(a, 0, 0) , B(0, b, 0) и C(0, 0, c) (рис. 6). Нормальным вектором плоскости является
вектор  .
 |
| Рис.
6 |
Поскольку   и  , то  . Подставим координаты точки  и вектора  в уравнение плоскости с нормальным вектором  . Получим
 или  .
Каждое слагаемое последнего уравнения разделим на произведение  и получим уравнение  , что и требовалось
доказать. |
 Задача |
|
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку A(1, -1, 3) и отсекающей на координатных осях отрезки, равной
длины. |
 Решение |
|
Уравнение плоскости будем искать в виде  . Из условия  возможны следующие случаи:
1. a = b = c, тогда имеем x + y + z = a и, подставив в это уравнение координаты точки A, найдем a: 1 - 1 + 3 = a, или a = 3 ; тогда уравнение плоскости запишется .x + y + z = 3
2. a = b = - c , тогда x + y - z = a и для a получим 1 - 1 - 3 = a , или a = - 3 ; уравнение плоскости примет вид: x + y - z = - 3.
3. - a = b = c , - x + y + z = a ; подставляем в это уравнение координаты точки A: - 1 - 1 + 3 = a, или a = 1 ; тогда уравнение плоскости: - x + y + z = 1..
4. a = - b = c , x - y + z = a , 1 + 1 + 3 = a, или a = 5 ; тогда уравнение плоскости запишется в виде: x - y + z = 5. |
 Ответ: |
|
 , или  , или  , или  .
|
|
 |
