Рис. 23

Во введенной системе координат фокусы расположены на оси  и имеют координаты  и . Пусть точка  принадлежит эллипсу (рис.23). Тогда

, ,

,

перенося первый радикал из правой части в левую, запишем

.

Возведем обе части уравнения в квадрат

и раскроем квадраты в левой и правой частях

.

Приводя подобные члены, получим уравнение

,

обе части которого разделим на  и снова возведем в квадрат. тогда уравнение примет вид

.

Последнее уравнение можно упростить, если раскрыть скобки и привести подобные члены,

,

.

Поскольку из определения эллипса следует, что , то число  и его можно обозначить, как . Тогда уравнение эллипса запишется в виде

, или .

Разделив последнее уравнение на , получим

.

Такое уравнение эллипса называется каноническим.

Если в уравнении эллипса  заменить  на , то его вид не изменится. Это означает, что если точка  принадлежит кривой, то точка  также принадлежит этой кривой. Следовательно, кривая симметрична относительно оси ординат. Эллипс симметричен и относительно оси абсцисс, потому что его уравнение не меняется при замене  на . Учитывая это, достаточно изучить вид кривой в первой четверти, то есть при условии .

При  можно задать кривую в виде явного уравнения , . Из этого уравнения ясно, что кривая проходит через точки  и . Эти точки называются вершинами эллипса.

Эллипс - ограниченная кривая, которая находится внутри прямоугольника . Из явного уравнения эллипса ясно, что ордината  при непрерывном возрастании  на отрезке  монотонно убывает. Следовательно, эллипс есть непрерывная замкнутая кривая, в первой четверти она выпукла вверх, в любой ее точке можно провести касательную. В остальных четвертях кривая строится с учетом симметрии относительно координатных осей.

Числа  и  называются полуосями эллипса. Поскольку , то  и эллипс вытянут вдоль оси . При этом  называется большей полуосью, а  - меньшей полуосью эллипса. Вид кривой показан на рисунке 24.

Рис. 24.

При  эллипс представляет собой окружность радиуса  с центром в начале координат. Уравнение этой окружности

.

Эксцентриситетом эллипса называется число . Для эксцентриситета эллипса справедливо неравенство , поскольку из определения эллипса следует, что . Эксцентриситет окружности , поскольку для окружности  и .

Учитывая то, что эксцентриситет окружности , можно сделать вывод, что чем больше эксцентриситет эллипса, тем больше он вытянут относительно одной из осей симметрии.

Если известны: расстояние между фокусами  и гиперболы, равное  и разность расстояний от любой ее точки до фокусов, равное , то в прямоугольной декартовой системе координат, где ось  проходит через фокусы  и  (от  к ), а начало координат посередине между фокусами, уравнение гиперболы имеет вид , где  и .

Рис. 25.

Во введенной системе  координаты фокусов равны , . Если точка  принадлежит гиперболе, то справедливо , или  (рис.25).

Подставив в последнее равенство координаты точек , получим

,

или .

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат

и упростим его, раскрыв все квадраты

и приведя подобные члены

.

Последнее уравнение разделим на  и снова возведем в квадрат

.

Раскрыв скобки и сделав упрощения, получим уравнение

,

в котором , поскольку  из определения гиперболы. Из этого следует, что можно ввести обозначение  и записать уравнение гиперболы в виде . Разделив на , получим уравнение гиперболы

,

которое называется каноническим.

Из вида уравнения ясно, что гипербола симметрична относительно оси  и оси . При  получим уравнение , которое не имеет вещественных корней. Следовательно, кривая не пересекает ось . При  получим уравнение , корни которого . Следовательно, кривая пересекает ось  в точках  и . Эти точки называются вершинами гиперболы.

Числа  и  называются полуосями гиперболы, - действительной полуосью, а  - мнимой полуосью.

Для части гиперболы, находящейся в первой четверти, явное уравнение имеет вид

, ,

из которого видно, что  принимает вещественные значения при . Следовательно, нет точек кривой, расположенных в полосе . Кроме того, из явного уравнения можно видеть, что при возрастании  на полуинтервале  ордината  возрастает и стремится к бесконечности.

Прямые  являются асимптотами гиперболы.

Для части гиперболы в первой четверти, определяемой равенством и прямой :

.

Это означает, что прямая  является асимптотой гиперболы при . В силу симметрии гиперболы относительно осей, так же как и симметрии пары прямых  относительно осей, можно сказать, что обе эти прямые являются асимптотами как при , так и при . Вид кривой показан на рисунке 26.

Рис. 26.

Эксцентриситет гиперболы , где  - действительная полуось. Так как у гиперболы , то ее эксцентриситет .

Зависимость формы гиперболы от величины эксцентриситета можно выяснить, если зафиксировать значение  и увеличивать значение параметра . При этом будут увеличиваться величина эксцентриситета  и значение параметра , так как . но тогда будет расти и абсолютная величина  углового коэффициента асимптот гиперболы. Следовательно, при увеличении эксцентриситета увеличивается размах ветвей гиперболы.

Если точка - фокус параболы, а прямая - ее директриса и задано расстояние между ними, равное , то в системе координат, где ось проходит через  перпендикулярно  и направлена от фокуса к директрисе, а начало координат выбрано посередине между ними, уравнение параболы имеет вид

,

 Во введенной системе координат координаты фокуса  и уравнение директрисы :  (рис. 27). Если точка  лежит на параболе, то справедливо

, или ,

где  - точка пересечения перпендикуляра, проведенного из  на директрису .

Рис. 27

Поскольку

 и , то ,

что равносильно

, или ,

откуда следует уравнение параболы

,

которое называется каноническим.

Из уравнения параболы видно, что кривая симметрична относительно оси  и проходит через начало координат. Для ее ветви в верхней полуплоскости, при , явно решенное относительно  уравнение имеет вид

 ,

из которого видно, что когда  возрастает на полуинтервале , ордината  возрастает от  до .

При  ветвь гиперболы симметрична относительно оси . Парабола не имеет асимптот. Эксцентриситет параболы равен 1 и не влияет на форму кривой. Вид кривой показан на рисунке 28.

Рис. 28

Построить кривую, заданную уравнением .

Разделив каждое слагаемое заданного уравнения на , запишем его в виде . Это уравнение задает на плоскости гиперболу с полуосями . Гипербола с равными полуосями называется равнобочной, ее асимптотами являются биссектрисы координатных углов .

При  получим уравнение , не имеющее вещественных корней, то есть гипербола не пересекает ось . При , получим уравнение , имеющее корни . Следовательно, вершины гиперболы ,  лежат на оси .

Фокусы гиперболы расположены на той же оси, на которой находятся ее вершины. Из того, что  и , следует, что координаты фокусов , . Эксцентриситет гиперболы . Вид кривой показан на рисунке 29.

Рис. 29

Построение кривых заданных общим уравнением

Если сравнить канонические уравнения эллипса, окружности, гиперболы и параболы с общим уравнением кривой второго порядка (1), то видно, что в них коэффициенты . Если в этом уравнении ,  или , то чтобы привести уравнение к каноническому виду, определить тип кривой и построить ее, необходимо сделать преобразование координат.

Если в уравнении (1)  или , то это означает, что центр симметрии эллипса или гиперболы, или центр окружности, или вершина параболы находятся не в начале координат, а в некоторой точке . Строить кривую в данном случае удобно, перенося начало координат в эту точку, то есть, сделав замену .

При такой замене в новой системе координат с началом в точке  и с осями  и  уравнение кривой будет иметь канонический вид.

Построить кривую, заданную уравнением , приведя его к каноническому виду.

Преобразуем уравнение следующим образом

, ,

, .

Получили уравнение параболы с вершиной в точке  и с осью симметрии, параллельной оси . Перенося начало координат в точку , получим в системе координат  уравнение

,

где параметр  определяется из условия  или .

Парабола симметрична относительно оси  или относительно прямой . Фокус параболы находится на ее оси и отстоит от вершины на . Поскольку из уравнения следует, что , то ветви параболы направлены вниз и фокус  лежит на  ниже вершины, то есть его координаты .

Директрисой параболы является прямая, перпендикулярная ее оси и находящаяся на расстоянии  от вершины, причем фокус и директриса расположены по разные стороны от вершины. Учитывая все это, можно записать уравнение директрисы , или . Кривая построена на рис. 30.

Рис. 30