, .

   При  эллипсоид обращается в сферу радиуса  с центром в начале координат, т. е. геометрическое место точек, отстоящих от начала на расстоянии . Числа  называются полуосями эллипсоида. Если в уравнении эллипсоида заменить (одновременно или порознь)  на ,  на ,  на , то оно не изменится, что показывает, что эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей: , ,  и начала координат. Поэтому достаточно изучить уравнение эллипсоида в первом октанте т.е. для , , . Часть эллипсоида, находящаяся в первом октанте, определяется явным уравнением

, , , .

Для определенности будем считать, что . Эллипсоид есть ограниченная поверхность. Он находится внутри шара радиуса  c центром в начале координат: для координат любой точки эллипсоида  имеет место неравенство

Чтобы составить более точное представление об эллипсоиде, произведем сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Например, пересекая эллипсоид плоскостями ,, получим в сечении эллипс

c полуосями , .

Отсюда видно, что самый большой эллипс получается в сечении эллипсоида плоскостью . Аналогичная картина будет при сечении плоскостями ,  и , .

Точки ,  и  лежат на эллипсоиде и называются его вершинами.

Если какие-либо две полуоси равны между собой, то эллипсоид будет эллипсоидом вращения, т. е. получится от вращения эллипса относительно соответствующей оси координат.

Эллипсоид построен на рис.37.