 Определение 1.
|
Окрестностью радиуса  конечной точки  или  - окрестностью точки  называется множество чисел  , удовлетворяющих неравенству  , т. е. множество  (рис. 1). Обозначается:  . |
 |
| Рис.
1. | |
Если  , то  удовлетворяет неравенству |
  . |
Расширим систему вещественных чисел, добавив к ним два
символа  и  , которые назовём бесконечно-удалёнными точками
числовой оси. Определим для этих точек следующие свойства: |
1) Если  и является конечным
числом, то |
 ; |
2) Если  , то  ; |
3) Если  , то  ; |
| Определение 2. |
Пусть  .  -окрестностью
точки  называется множество чисел  , удовлетворяющих неравенству  , т. е. множество  (рис. 2). Обозначение:  . |
 |
| Рис.2. | |
Тогда  . |
| Определение 3. |
Пусть   -окрестностью точки
 называется множество чисел  , удовлетворяющих неравенству  , т. е. множество  (рис. 3). Обозначение:  . |
 |
| Рис. 3. | |
Тогда  . |
| Определение 4. |
Пусть  .
Проколотой  -окрестностью
точки  называется множество чисел  и  (рис. 4). Обозначение:
 . |
 |
| Рис. 4. | |
Тогда  . |
| Определение 5. |
Точка  называется точкой
сгущения (или предельной точкой) множества  ), если в любой проколотой
окрестности точки  находится хотя бы один элемент
данного множества  . |
Можно показать, что в любой окрестности точки сгущения
находится бесконечное множество элементов множества  . |
Точка сгущения может принадлежать множеству, но может
ему и не принадлежать. Например, для множеств  и  точки  и  являются точками сгущения. |
| Определение 6. |
Точка, принадлежащая множеству и не являющаяся его
точкой сгущения, называется
изолированной. Например, во множестве
натуральных чисел  каждая конечная точка является изолированной.
Множество имеет единственную предельную точку  . Действительно, в любой окрестности точки  , т.е. в окрестности  находится бесконечное множество натуральных чисел
(рис. 5). |
 |
| Рис.
5. | |
|
 |
