4.10. Сравнение б.м. и б.б. функций

4.10. Сравнение б.м. и б.б. функций

Высшая математика > 4. Теория пределов > 4.10. Сравнение б.м. и б.б. функций

	Определение 1.
Пусть и - б.м. в точке , тогда
1).	Если , то называется б.м. более высокого порядка относительно б.м. .Обозначение: .
2).	Если , где , то и называется б.м. одинакового порядка.
3).	Если не существует, то и называются несравнимыми.

Определение 2.
Две б.м. функции и называются эквивалентными при , если . Обозначается : .

Свойства эквивалентных б.м.

Теорема 1.

Сумма функций, б.м. в точке , разного порядка эквивалентна б.м. меньшего порядка.

Доказательство.

Пусть - б.м. в точке более высокого порядка, чем . Рассмотрим .

Найдём , то есть .

Теорема 2.

Предел отношения двух б.м. функций в точке не изменится, если числитель и знаменатель заменить на эквивалентные им б.м. функции. Иначе:

если и , то

Доказательство.

Теорема 3.

Если и , то .

Доказательство.

Теорема 4.
Сумма б.м. функций эквивалентна сумме эквивалентных им б.м., если заданная сумма не является разностью эквивалентных б.м.

Пример.

, поскольку ноль является конечным числом, а не бесконечно малой функцией. В этом случае постараемся разложить заданное выражение на множители. .

	Определение 3.
Пусть и - б.б. в точке . Тогда:
1)	если , то называется б.б. высшего порядка относительно . В этом случае - б.б. низшего порядка относительно . Очевидно .
2)	если , где , то и называются б.б. одинакового порядка.
3)	если , то и называются несравнимыми.
4)	если , то и называются эквивалентными: .

Свойства эквивалентных б.б. функций.

	Отметим лишь некоторые свойства.
1)	Сумма б.б. функций разного порядка эквивалентна б.б. высшего порядка.
2)	Предел отношения б.б. не изменится, если числитель и знаменатель заменить на эквивалентные б.б. Иначе: если и , то
3)	Сумма б.б. функций можно заменить на сумму эквивалентных б.б., если заданная сумма не является разностью эквивалентных б.б.
4)	Если и , то .