4.14. Непрерывность функций

4.14. Непрерывность функций

Высшая математика > 4. Теория пределов > 4.14. Непрерывность функций

Определение 1.

Пусть дана функция . Рассмотрим два значения ее аргумента и . Разность называется приращением аргумента в точке . Разность называется приращением функции в точке .

Так как , то и .

Определение 2.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности точки и , т.е. если бесконечно малому приращению соответствует б. м. приращение .

Так как , то можно переписать .

Таким образом, получаем эквивалентное определение:

Определение 3.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности точки и или .

Это равенство можно переписать в виде , то есть под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Приведем две важные теоремы о непрерывных функциях.

Теорема 1.

Если функции и непрерывны в точке , то непрерывны в этой же точке их сумма, произведение и частное (при ).

Доказательство.

Найдем

функция - непрерывная в точке . Аналогично доказываются теоремы для произведения и частного.

Теорема 2.

Если функция непрерывна в точке , а функция - в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство.

Определение 4.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала , то функция называется непрерывной на этом интервале.

Определение 5.
Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если она определена в точке и (или ).

Определение 6.
Функция называется непрерывной на замкнутом интервале , если она непрерывна в каждой точке интервала , и непрерывна справа в точке и слева в точке .

Рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке.

Непрерывная на

функция достигает на этом отрезке по крайней мере один раз наибольшего значения

и наименьшего значения

, т.е.

(рис. 11).

Рис. 11

Непрерывная на

функция является ограниченной на этом отрезке. Это следует из неравенства

Классификация точек разрыва.

Если в точке

хотя бы одно из условий непрерывности нарушается, точка называется точкой разрыва данной функции.

Пусть существуют односторонние пределы:

Если

, но являются конечными числами. то точка

называется точкой разрыва первого рода (рис. 12).

Величина

называется скачком функции

в точке

Рис. 12

б)

Если

, то точка

называется точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва (рис. 13).

Для того, чтобы устранить разрыв, нужно доопределить (или переопределить) функцию в самой точке

, т.е. ввести новую функцию

Рис. 13

Если в точке

хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен

, то точка

называется точкой разрыва второго рода (рис. 14).

Рис. 14

Пример 1.

Исследовать функции на непрерывность:

Изобразим график этой функции (рис. 15). В точке у функции разрыв, так как

разрыв I рода, скачок.

Рис. 15.

Следует отметить, что в точке функция непрерывна справа, так как . В точке функция непрерывна слева, так как .

Пример 2.

Исследовать функции на непрерывность:

Точка является точкой устранимого разрыва, так как и не существует. Доопределить функцию по непрерывности - это значит задать , т.е. получим функцию вида .

Пример 3.

Исследовать функции на непрерывность:

Точка является точкой разрыва II-го рода, так как не существует. График функции колеблется между и , не приближаясь ни к какому значению.