4.9. Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Вычисление пределов

4.9. Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Вычисление пределов

Высшая математика > 4. Теория пределов > 4.9. Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Вычисление пределов

Теорема 1.

Если существуют конечные пределы двух функций и , то

Доказательство.

Тогда , где - б.м. в точке . Следовательно, .

Теорема 2.

Если существуют конечные пределы двух функций и , то

Доказательство.

Найдём , где и , а также являются б.м. в точке . Значит .

Теорема 3.
Если существуют конечные пределы двух функций и , то .
Доказательство.
Из необходимого и достаточного условия существования конечного предела следует, что справедливы утверждения: , где - б.м. в точке . , где - б.м. в точке . Найдём разность где - ограниченная, т. к. знаменатель стремится к . Таким образом .
Следствие.
Постоянный множитель можно выносить за знак предела. .

Рассмотрим все возможные случаи, которые могут встретиться при вычислении пределов суммы, произведения и отношения функций.

Примеры:
1). .
2)..

	Вычисление предела произведения .
Пусть и . Тогда, если:
1.	- конечные числа .
2.	.
3.	неопределённость.

Пример:

	Вычисление предела отношения .
Пусть и . Тогда, если:
1.	1. - конечные числа, .
2.	, .
3.	-конечное, , .
4.	- конечное, .
5.	, .
6.	, .
7.	, - неопределённость.
8.	, - неопределённость.