Из определения производных высших порядков следует, что вторая производная - это производная от первой производной, третья производная - это производная от второй производной, и так далее.

Вычислить третью производную  функции  в произвольной точке .

Сначала вычислим первую производную, используя правило дифференцирования частного двух функций:

.

Упростим это выражение  и вычислим вторую производную.

.

Полученное выражение можно упростить.

и вычислить третью производную.

,

которая после всех возможных упрощений примет вид

.

Получите выражение производной  - го порядка  для функции .

Получим выражения для производных первого, второго, третьего и четвертого порядков, проводя последовательное дифференцирование заданной функции.

, , , .

Из выражений для этих производных ясно, что каждое последующее дифференцирование увеличивает на единицу показатель степени выражения  в знаменателе и добавляет в числитель натуральный сомножитель, на единицу больший предыдущего.

Знаки в производных чередуются, причем в производных четного порядка знак минус. Учитывая это, запишем выражение для производной произвольного ( - го) порядка:

.

Произведение всех натуральных чисел от  до  называется « - факториал» и обозначается: .

Учитывая это обозначение, выражение для - й производной функции  можно переписать в виде:

.

Получите выражение производной  - го порядка  для функции .

Вычислим последовательно , , , . Далее производные будут повторяться при .

Если использовать формулы приведения для вычисления значений функции  при , то легко убедиться, что они совпадают с производными первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Следовательно, производную  - го порядка для функции  можно записать в виде

.

Вычислить производную второго порядка от функции , заданной параметрическими уравнениями

.

Вычислим первую производную  по правилу дифференцирования функции, заданной параметрически.

.

Чтобы вычислить вторую производную, учтем, что производная  также является параметрически заданной функцией. То есть первая производная  задана параметрическими уравнениями

.

Для вычисления второй производной можно использовать то же правило дифференцирования, что и для первой.

.

Средняя скорость между моментами времени  и  равна , где  - путь, пройденный между моментами времени  и  Скорость  в момент времени  определяется как предел средней скорости за промежуток времени  при . Тогда

.

Среднее ускорение между моментами времени  и  равно , где  - изменение скорости за время . Ускорение  в момент времени  определяется как предел среднего ускорения за промежуток времени  при . Тогда

.

Если  - смещение материальной точки за время  вдоль оси  под действием силы , то, используя второй закон Ньютона , можно записать уравнение ее движения

,

где  - масса точки, а  - равнодействующая всех сил, приложенных к ней.