7.1.9. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций Skip Navigation LinksВысшая математика > 7. Интегральное исчисление функций одной переменной > 7.1. Неопределенный интеграл > 7.1.9. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Рассмотрим интеграл вида , где  - рациональная функция своих аргументов
Сделаем подстановку   . Тогда: , .
Таким образом, сделав подстановку, исходный интеграл от тригонометрических функций стал интегралом от рациональной функции переменной , т.е. .
  Пример.

 

.

Рассмотренная подстановка даёт возможность проинтегрировать всякую функцию вида . Поэтому её называют универсальной тригонометрической подстановкой. Однако на практике она часто приводит к сложным интегралам от рациональных функций. Поэтому полезно знать также другие подстановки.
Подстановки.
1. .
  Пример.

.

2. .
3.

, где  и  входят в чётных степенях.

Сделаем подстановку:

.

4.

, где n - нечётное, m - любое.

Пусть n = 2p+1, тогда

. Получили случай 1.

5.

, где m, n - чётные неотрицательные.

В этом случае используем формулы понижения степени:

 и .

  Пример.

.

6.

Интегралы вида    

где  берутся при помощи следующих формул:

7. В интегралах вида  или , где m - четное натуральное число, прибавляется и вычитается выражение  или под знаком интеграла.
  Пример.

 

.

Замечание

Иногда полезно использовать тригонометрическое тождество . Это удобно, если под знаком интеграла множитеоли  и , где натуральное число n - четное.
  Пример.
 
Hosted by uCoz