1.12. Линейная зависимость и независимость векторов в Rn Skip Navigation LinksВысшая математика > 1. Элементы линейной алгебры > 1.12. Линейная зависимость и независимость векторов в Rn

  Определение 1

Пусть . Линейной комбинацией векторов  называется вектор: , где .

  Определение 2

Векторы:  называются линейно независимыми, если  тогда и только тогда, когда .

  Определение 3

Векторы  называются линейно зависимыми, если существует набор чисел: , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, такой что .

  Пример 1

Определить являются ли векторы: , ,  линейно зависимыми или они линейно независимы.

  Решение

Так как: , можно составить линейную комбинацию, равную нулевому вектору (нулевую линейную комбинацию): , в которой , . Поскольку мы указали ненулевой набор чисел , , , такой, что линейная комбинация равна нулевому вектору, то из определения следует, что  - линейно зависимы.

  Пример 2

Определить являются ли векторы: , ,  линейно зависимыми или они линейно независимы.

  Решение

Так как:  только при , из определения следует, что  - линейно независимы.

  Теорема 1

Векторы  линейно зависимы тогда и только тогда, когда какой - то один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных.

  Теорема 2

Векторы  линейно независимы тогда и только тогда, когда ни один из них нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.
 
Hosted by uCoz