1.2. СЛАУ второго, третьего и n-ого порядка. Определители. Формулы Крамера

1.2. СЛАУ второго, третьего и n-ого порядка. Определители. Формулы Крамера

Высшая математика > 1. Элементы линейной алгебры > 1.2. СЛАУ второго, третьего и n-ого порядка. Определители. Формулы Крамера

Теорема 1

Рассмотрим СЛАУ второго порядка: . Если , то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам: , .

Доказательство

Умножим первое уравнение системы на , а второе уравнение - на и сложим их. Получим линейное уравнение, в которое входит только неизвестное , Если , то это уравнение имеет единственное решение: .

Теперь умножим первое уравнение системы на , а второе уравнение - на и сложим их. Получим линейное уравнение, в которое входит только неизвестное , . Если , то это уравнение имеет единственное решение: .

Определение 1

Пусть задана матрица второго порядка: . Число, которое определяется через элементы этой матрицы по правилу: , называется определителем матрицы или определителем второго порядка и обозначается: .

Определение 2

Рассмотрим СЛАУ второго порядка: . Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. Определители и , получающиеся из заменой столбцов из коэффициентов при и, соответственно, при столбцом свободных членов называются вспомогательными определителями.

Замечание 1

Если обратить внимание на формулы, по которым вычисляются и в теореме 1, то можно увидеть, что знаменатель дроби для и - это , числитель дроби для , числитель дроби для и сформулировать следующую теорему.

Теорема 2

Если определитель СЛАУ второго порядка отличен от нуля , то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам: , . Эти формулы называются формулами Крамера.

Определение 3

Пусть задана матрица третьего порядка: . Число, определяемое через элементы этой матрицы по правилу: , называется определителем матрицы или определителем третьего порядка и обозначается: .

Замечание 2

Обращаем Ваше внимание, что в каждое слагаемое входит один и только один элемент из каждого столбца и строки матрицы.

Определение 4

Рассмотрим СЛАУ третьего порядка: . Определители , и , получающиеся из заменой по очереди столбцов из коэфициентов при , при и при столбцом свободных членов, называются вспомогательными определителями.

Для СЛАУ третьего порядка также справедливы формулы Крамера.

Теорема 3

Если определитель СЛАУ третьего порядка отличен от нуля , то система имеет, и притом единственное, решение, которое может быть найдено по формулам Крамера: , , .

Пример

Решить СЛАУ: .

Решение

Вычислим определитель системы: .

Вспомогательные определители вычисляем по такому же правилу, что и определитель . Получим: , , . Так как , то данная система имеет только одно решение. Находим его по формулам Крамера: , , .

Рассмотрим СЛАУ

-ого порядка:

. Для нее так же справедливы формулы Крамера.

Теорема 4

Если определитель СЛАУ -ого порядка отличен от нуля , то система имеет, и притом единственное, решение, которое может быть найдено по формулам Крамера: , ,:,, где - определитель системы, а вспомогательные определители: получаются из заменой столбца из коэффициентов при столбцом свободных членов .

Замечание 3
Доказательство теоремы 4 будет приведено далее.