В пространстве  векторная алгебра допускает наглядную геометрическую
интерпретацию. В этом пространстве вектор  изображается множеством направленных отрезков,
имеющих длину, равную  и одинаковое направление. Иначе говоря, вектор в
 изображается направленным
отрезком, начало которого может располагаться в любой точке трехмерного
Евклидова пространства. |
 |
Линейные
операции над векторами |
| 1. |
Сложение |
|
 . |
|
 |
| Рис.
1 | |
| 2. |
Вычитание |
|
 . |
|
 |
| Рис.
2 | |
| 3. |
Умножение на число |
|
 . |
|
 |
| Рис.
3 | |
| Геометрический смысл
скалярного произведения |
 |
| Рис.
4 | |
| По свойствам скалярного
произведения: |
 . |
С другой стороны, по теореме косинусов:  . |
Следовательно  , где  - угол между векторами  и  . |
Замечание
Следует заметить, что для скалярного
произведения векторов выполняются те же законы, что и для алгебраических
операций с многочленами. Из этого следует, что при скалярном умножении векторов
справедливы формулы сокращенного умножения.
Из геометрического смысла скалярного произведения следует,
что ортогональные векторы должны изображаться перпендикулярными
направленными отрезками.
Рассмотрим стандартный
ортонормированный базис  ,  ,
 и изобразим эти
векторы единичными (длина которых равна 1), взаимно перпендикулярными
отрезками с общим началом в некоторой точке  . |
 |
| Рис. 5 |
Векторы  ,  ,
 будем
располагать так, чтобы с конца  вращение от  к  происходило против часовой стрелки (рис. 5). Такой
базис называется базисом
правой ориентации.
Введем
прямоугольную декартову систему координат с началом в точке O, ось Ox сонаправим
с вектором  , ось
Оу - с вектором  , а ось Oz - с вектором  . Тогда вектор  изобразится
направленным отрезком  . При этом x, y, z - это
проекции  на
координатные оси или координаты точки A в
системе координат xyz (рис.6). |
 |
| Рис. 6 |
Если вектор имеет начало в точке  , а конец в точке  , то  , поскольку из рис. 7.
видно, что  .
|
 |
| Рис. 7 |
|
 |
