3.1.1. Поверхности в пространстве и их уравнения. Уравнение плоскости

3.1.1. Поверхности в пространстве и их уравнения. Уравнение плоскости

Высшая математика > 3. Аналитическая геометрия > 3.1. Плоскость и прямая в пространстве > 3.1.1. Поверхности в пространстве и их уравнения. Уравнение плоскости

Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат с началом в некоторой точке . Произвольную точку в этой системе координат будем задавать ее координатами . Вектор изображать направленным отрезком , начало которого может быть перенесено в любую точку пространства (рис.1).

Рис. 1

Определение 1

Если в пространстве задана прямоугольная декартова система координат, то алгебраическое уравнение

называется уравнением поверхности

в этой системе координат, если:

Координаты любой точки

связаны уравнением

Для любого решения

уравнения

справедливо

(рис. 2).

Рис. 2

Замечание
Иначе говоря, уравнение поверхности связывает координаты тех и только тех точек, которые принадлежат этой поверхности.
В дальнейшем будет дана классификация основных поверхностей, а в данном разделе мы покажем, как получить уравнение поверхности, если задано общее геометрическое свойство ее точек.

Задача

Написать алгебраическое уравнение множества точек, расположенных на расстоянии от заданной точки .

Решение

Из элементарной геометрии известно, что множество точек с таким геометрическим свойством образует сферу (поверхность шара) с центром в точке и радиусом . Покажем, что ее уравнение имеет вид .

Пусть точка принадлежит данной сфере. Рассмотрим вектор . Так как и , то .

Если же точка не принадлежит сфере, то или , и, следовательно, ее координаты не удовлетворяют этому уравнению.

Теорема 1

Линейное уравнение с тремя переменными задает в пространстве плоскость.

Доказательство

Пусть задана точка , принадлежащая плоскости, и вектор , перпендикулярный плоскости. Ясно, что через данную точку перпендикулярно данному вектору можно провести только одну плоскость (рис.3).

Рис. 3

Если точка принадлежит искомой плоскости, то вектор коллинеарен этой плоскости и ортогонален вектору . Из ортогональности векторов следует или . Раскрывая скобки и обозначая, получим уравнение . Это линейное уравнение, причем коэффициенты при переменных - координаты нормального вектора .

Пусть - какое-то решение уравнения


.         (1)
Это означает, что справедливо

.         (2)
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим
, или .
Получили уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .