 |
Определение |
|
Алгебраическое уравнение  является уравнением линии  на плоскости, если: |
| 1. |
Для любой точки   . |
| 2. |
Для любого решения  уравнения  точка  . |
Замечание 1
Из определения следует, что линия на
плоскости задается алгебраическим уравнением, связывающим координаты тех и
только тех точек, которые принадлежат этой линии.
| Теорема |
Линейное уравнение с двумя переменными  задает на плоскости
прямую. |
| Доказательство |
Линейное уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно
много решений. Пусть  ,  и  ,  любые два решения этого уравнения. Из определения
уравнения линии следует, что точки  и  принадлежат данной линии, то
есть, справедливы равенства |
 и |
 . |
| Вычитая из первого равенства второе,
получим |
 . |
Если рассмотреть векторы  и  , то последнее уравнение эквивалентно векторному уравнению
 . Это означает, что любой вектор с началом и концом на
данной линии ортогонален вектору  . Ясно, что такому условию
удовлетворяют только точки, лежащие на прямой. |
Замечание 2
Из доказательства теоремы следует
геометрический смысл коэффициентов  и  . Это координаты перпендикулярного ей вектора  . Вектор  называется нормальным вектором, а уравнение  - общим
уравнением прямой.В зависимости от
задания прямой, такое уравнение может быть записано в различных видах.
| Уравнение прямой с
угловым коэффициентом |
 |
| Рис.
15 | |
Уравнение , где угловой коэффициент  ,  - угол между прямой и осью  ,  - ордината точки пересечения прямой с осью  (рис.15), называется уравнением прямой с угловым
коэффициентом. |
| Уравнение прямой с
нормальным вектором |
 |
| Рис.
16 | |
Уравнение  , где  - точка, принадлежащая прямой (рис.16),  - нормальный вектор прямой (любой
вектор, перпендикулярный данной прямой), называется уравнением прямой с нормальным
вектором. |
| Каноническое уравнение
прямой |
 |
| Рис.
17 | |
Уравнение  , где  - точка, принадлежащая прямой (рис.17),  - направляющий вектор прямой (любой
вектор, параллельный прямой), называется каноническим
уравнением прямой. |
| Уравнение прямой в
<отрезках> |
 |
| Рис.
18 | |
Уравнение  , где  - абсцисса точки пересечения прямой с осью  ,  - ордината точки пересечения прямой с осью  (рис.18), называется уравнением прямой в отрезках. |
| Угол между прямыми |
 |
| Рис.
19 | |
Если  и  - угловые коэффициенты двух прямых, то угол  между ними находится по
формуле: |
 , |
где  и  - углы, которые данные прямые составляют с
координатной осью  (рис.19). |
Замечание
Если прямые заданы общими уравнениями
 и  , то угол между ними можно определять как угол между их
нормальными векторами  и  . Точку пересечения двух прямых, заданных общими уравнениями,
 и  , находят, решая систему:  .
 Задача 1 |
|
Напишите уравнения высоты из вершины  и медианы из вершины  в треугольнике  , если заданы его вершины  ,  и  . |
 Решение |
|
Для высоты  используем уравнение прямой с нормальным вектором,
где в качестве нормального вектора  возьмем вектор  . Для медианы  используем каноническое уравнение прямой, где в
качестве направляющего вектора  возьмем вектор  (рис.20).
 |
| Рис.
20 |
Нормальный вектор для высоты  - вектор  . В уравнение  подставим вместо  и  координаты вектора  , а вместо  и  - координаты точки  . Получим  , или, раскрывая скобки,  , или  .
Направляющий вектор для медианы  - вектор  . Так как  и  , то  . Уравнение медианы можно получить, подставив в
каноническое уравнение  вместо  и  координаты вектора  , а вместо  и  - координаты точки  . Получим  , или  , или  . |
 Ответ: |
|
Уравнение высоты  :  . Уравнение медианы  :  . |
| Задача 2 |
|
Написать уравнение сторон квадрата  , если заданы координаты двух его смежных вершин  и  . |
| Решение |
|
Уравнение стороны  , запишем, используя каноническое уравнение прямой  и выбирая в качестве направляющего вектора  вектор  . Подставляя в уравнение координаты точки  вместо чисел  и  , получим  , или  , или  .
Уравнения сторон  и  получим, используя уравнение прямой с нормальным
вектором  , где нормальным вектором является тот же вектор  .
Для стороны подставляем в это уравнение вместо  и  координаты точки  :  , или  .
Для стороны  подставляем координаты точки  : , или  .
Каждый из векторов  и  ортогонален  , что легко проверить, вычислив их скалярные произведения.
На рисунке 21 вектор  , так как он составляет с координатными осями острые
углы.
 |
| Рис. 21. |
Теперь можно найти координаты точки  , прибавляя к координатам точки  координаты вектора  :
 ,  ,
следовательно,  .
Для стороны  можно использовать уравнение прямой с нормальным
вектором, поскольку известны принадлежащая ей точка  и нормальный вектор  . Подставляя их в это уравнение, получим  и, раскрывая скобки,  .
Теперь можно использовать второй, ортогональный к вектору  , вектор  . Прибавляя его координаты к координатам точки  , найдем координаты точки  , симметричной точке  относительно стороны  . Легко проверить, что координаты точки  . Следовательно, условиям задачи удовлетворяет и квадрат
 , симметричный квадрату  относительно стороны  . Уравнение стороны  имеет вид  , или  . |
| Ответ: |
|
 ,  ,  ,  или  .
|
| Задача 3 |
|
Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку  и образует с координатными осями треугольник
площадью  квадратных единиц. |
| Решение |
|
Для уравнения искомой прямой следует использовать уравнение прямой
в отрезках:  . Так как точка  принадлежит этой прямой, то, подставляя ее
координаты, получим  , или  .
Из условий задачи площадь треугольника, которая вычисляется по формуле
 , равна  (рис.22). Тогда  и необходимо рассмотреть два случая:  и  .
1.  ,   .
 |
| Рис. 22. |
Сокращая последнее равенство на  , и умножая его на  , получим квадратное уравнение  , которое не имеет вещественных корней, так как его
дискриминант отрицателен.
2.  ,    .
Решения этого уравнения  и  . Поскольку  , то  и  . Подставляя эти значения  и  в уравнение прямой в отрезках, получим
 , или  .
 , или  .
|
| Ответ: |
|
 ,  .
|
|
 |
