 |
| Рис. 31 |
Полярная система координат задана, если задана точка  , называемая полюсом, и исходящий из полюса луч  , который называется полярной осью. Положение любой точки  в полярной системе координат однозначно определяется ее
полярными координатами: полярным радиусом  - расстоянием от полюса  до точки  и полярным углом  - углом поворота полярной оси до совпадения с вектором
 (рис.31).
В полюсе полярный радиус  , а полярный угол не определен. Для всех точек плоскости, не
совпадающих с полюсом  .
Полярный угол измеряется в радианах и считается положительным, если
отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярный угол определяется
с точностью до  , где  - целое число. Это означает, что точки с полярными координатами
 и  при целом  совпадают.
Если задана полярная система координат, то каждой паре чисел  , из которых  , соответствует точка плоскости, для которой эти числа являются
ее полярными координатами. Если  , то эта точка расположена на луче, составляющим угол  с полярной осью  , и на расстоянии  от полюса. Если  , то эта точка совпадает с полюсом.
Из определения полярных координат следует, что уравнение  задает на плоскости окружность с центром в полюсе и
радиусом  , а уравнение  задает на плоскости луч, проходящий через полюс и
составляющий с полярной осью угол  , в частности уравнения полярной оси  .
 |
| Рис. 32 |
Если задать на плоскости прямоугольную декартову систему координат, поместив
ее начало в полюс и совместив ось абсцисс с полярной осью, то, как легко видеть
из рис. 32, декартовы координаты  и  выражаются через полярные координаты из
соотношений
Если каждое уравнение системы возвести в квадрат и сложить их, то получим
уравнение  , из которого по заданным декартовым координатам можно
определить полярный радиус.
 Задача 2 |
|
Построить кривую, заданную в полярной системе координат  . |
 Решение |
|
Поскольку  - периодическая функция и  для любого целого
 , то достаточно
исследовать функцию при  .
Отметим точки  на плоскости в полярной системе координат и построим
соответствующую кривую. Ее вид показан на рисунке 34. Построенная кривая
называется кардиоидой.
 |
| Рис. 34 |
|
| Задача 3 |
|
Построить кривую, заданную уравнением  , перейдя к полярным
координатам. |
| Решение |
|
Воспользуемся формулами, связывающими декартовы координаты с
полярными координатами
 и  .
Тогда уравнение заданной кривой можно записать в виде
 ,
или  .
Сокращая последнее уравнение на  и используя формулу  , получим
 ,
или  .
Поскольку  -
периодическая функция с периодом  , то можно построить кривую на промежутке  , длина которого равна
периоду функции, а затем использовать периодичность.
На промежутке  ,
функция определена только при  , что равносильно неравенству  , или  . Поэтому найдем
несколько точек на кривой при  из промежутка  и нанесем их на плоскость в полярной системе
координат.
Кривая при  получится поворотом на угол  , равный периоду функции.
Заданная кривая называется лемнискатой Бернулли, ее вид показан на
рисунке 35.
 |
| Рис. 35 |
|
|
 |
