4.3. Односторонние пределы. Предел последовательности

4.3. Односторонние пределы. Предел последовательности

Высшая математика > 4. Теория пределов > 4.3. Односторонние пределы. Предел последовательности

Определение 1.

Пусть

. Правосторонней

-окрестностью точки

называется множество точек

, где (рис. 8).

Рис. 8.

Левосторонней

-окрестностью точки

называется множество точек

,где (рис. 9).

Рис. 9.

Правая и левая окрестности обозначаются:

соответственно.

Определение 2 (Правостороннего предела).
.

Определение 3 (Левостороннего предела).
.

Замечание
Из определений ясно, предел в конечной точке существует только тогда, когда оба односторонних предела в этой точке существуют и они равны между собой.

Пример.

Выясните, имеет ли функция предел в точке .

Решение.

и не существует.

Замечание

Для точек понятие окрестности совпадает с понятием правосторонней или левосторонней окрестности. Поэтому совпадает с соответствующим право-(или лево) сторонним пределом функции.

Поскольку последовательность - это функция натурального аргумента, то единственной точкой сгущения области определения числовой последовательности является точка . Поэтому предел последовательности может быть определен только при аргументе .

Определение 4 (Предел числовой последовательности).
число .
При этом, если - конечное число, то определение предела можно записать в виде:.