Если функция  имеет предел при , то он единственный.

(От противного).

Пусть   и . Тогда по определению конечного предела

 и .

Найдём

Получили, что . Поскольку модуль - число не отрицательное, то неравенство  может быть выполнено только в случае  , т. е. .

Если в некоторой окрестности точки  выполняется неравенство  и существуют конечные пределы   и , то .

Пусть  - общая область определения функций  и . Тогда по определению предела функции

,

.

Если в обоих случаях взять одно и то же  и из найденных окрестностей  и  выбрать наименьшую, т. е. , то для выполняются оба неравенства одновременно, т. е.

, .

Выберем , предположив противное, т. е. пусть . Тогда

,

из последнего неравенства следует, что , что противоречит условию теоремы, значит наше предположение  неверно. Тогда верным является неравенство .

Если:

1)и  таковы, что можно образовать их суперпозицию ,

2) существует , точка - является точкой сгущения области определения функции ,

3) существует ,

то существует .

 Пусть - область определения функции , - область определения функции . По определению предела функции

,

.

Возьмём . Тогда получим

.

Значит, по определению предела функции .

Если в некоторой окрестности точки  три функции связаны неравенством  и существуют конечные пределы , то существует .

 Пусть - общая область определения трёх функций, тогда

,

.

Найдём окрестность , тогда для выполняются оба неравенства одновременно:

 и .

Но так как , то , а это означает, что существует .