Функция называется ограниченной на множестве , если . (или существуют числа ).
Например, - ограниченная функция на , т.к. при любых .
Если функция не является ограниченной на множестве , то её называют неограниченной. Следовательно, не ограничена на , если для любого сколь угодно большого существует хотя бы один .
Если функция имеет конечный предел при , то функция ограничена в окрестности предельной точки .
.
Обозначим и . Тогда выполняется , т. е. - ограниченная.
Если существует конечный ненулевой предел функции при , то функция ограничена в окрестности предельной точки .
Пусть, где . Тогда справедливо
, или
Так как , то для достаточно малого все части последнего неравенства имеют одинаковые знаки - ограничена в окрестности предельной точки.
Если функция имеет бесконечный предел, то она неограниченна в окрестности предельной точки.
Последнее неравенство и означает, что функция в окрестности предельной точки является неограниченной.
