Функция , заданная на промежутке , является дифференцируемой в точке  тогда, и только тогда, когда в этой точке существует конечная производная .

1) Пусть функция  - дифференцируема в точке . Тогда по определению дифференцируемой функции ее приращение можно представить в виде , где  - конечное число, а  - бесконечно малая при  функция более высокого порядка, чем .

Разделив это равенство на  и перейдя к пределу при , получим

.

Следовательно, производная  существует и равна конечному числу .

2) Пусть в точке  существует конечная производная . Это означает, что существует и равен конечному числу предел .

Обозначим  и воспользуемся тем, что разность между функцией и ее конечным пределом является бесконечно малой в точке, в которой вычисляется этот предел. Тогда

, где  - бесконечно малая при .

Решая последнее равенство относительно приращения , получим

.

Так как является бесконечно малой более высокого порядка, чем  и можно обозначить , то из полученного соотношения следует дифференцируемость функции  в точке .

Из доказательства теоремы следует смысл числа  в определении дифференцируемой функции: . Учитывая доказанную теорему, дифференцируемую в точке  функцию  можно определить как функцию, приращение которой в этой точке представимо в виде: .

Так как дифференцируемость функции в некоторой точке равносильна существованию у нее конечной производной в этой точке, то операцию вычисления производной называют дифференцированием.

Если функция не имеет конечной производной в некоторой точке, то она называется не дифференцируемой в этой точке