Вычислите производную функции .

По правилу дифференцирования сложной функции следует сначала вычислить производную экспоненты по ее сложному аргументу . Это означает, что в табличной производной  переменную  нужно заменить переменной . Эту производную необходимо умножить на производную от сложного аргумента  по переменной . Правило дифференцирования заданной функции можно записать в следующем виде

.

Вычислить производную функции .

Заданная функция является суперпозицией трех функций . Будем дифференцировать эту функцию, используя правила дифференцирования, начиная с внешней, степенной функции:

.

При этом следует понимать, что дифференцируя внешнюю функцию (степенную или косинус), нельзя менять ее сложный аргумент. Используя таблицу производных, получим

 .

Упростим полученное для производной выражение

.

Вычислите производную функции .

По правилу дифференцирования произведения функций

.

По таблице производных .

Функция  является сложной, ее производную следует вычислять по правилу дифференцирования суперпозиции функций.

.

Производная заданной функции равна

.

Производная степенной функции  очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее запомнить

.

Вычислите производную функции .

По правилу дифференцирования частного двух функций, производную от заданной функции можно записать в виде:

.

Функции  и  - сложные. Поэтому производные от этих функций по переменной  вычислим, используя правило дифференцирования суперпозиции функций

.

Производная от функции  по переменной  получится, если в табличную производную  подставить переменную  вместо переменной , то есть

.

Производная  может быть вычислена по таблице, если учесть, что  и использовать правило дифференцирования степенной функции, то есть

.

Тогда

 .

Аналогично, по правилу дифференцирования суперпозиции функций вычисляется производная от функции .

.

Подставим вычисленные производные в формулу для производной частного и запишем производную от заданной функции в виде:

.

Производная степенной функции  очень часто встречается в задачах. Рекомендуем ее запомнить

.

Вычислить производную функции .

Заданная функция называется показательно-степенной. Прежде чем вычислять ее производную, запишем эту функцию, используя основное логарифмическое тождество . Получим . Вынося показатель степени за знак логарифма, и раскрывая логарифм частного, полученное выражение можно записать в виде: .

Тогда, дифференцируя полученное выражение по правилу дифференцирования сложной функции, получим

.