5.1.2.4. Производные функций, заданных параметрически. Дифференцирование неявных функций

Производная функции, заданной параметрически

Если функция задана параметрическими уравнениями , где - параметр и если функции и дифференцируемы в точке , то функция дифференцируема в точке и ее производная вычисляется по правилу: .

Доказательство

Учитывая следствие из теоремы 1, производную можно представить как отношение дифференциалов: .

Поскольку функции и дифференцируемы в точке , соответствующей точке , то, используя формулу дифференциала, и можно представить в виде:

, . Тогда .

Пример 1

Вычислите производную функции , заданной параметрическими уравнениями: .

Решение

По теореме о производной функции, заданной параметрически, можно записать

Производная функции, заданной неявно

Если дифференцируемая в точке функция задана соотношением и если при этом функция - дифференцируема в точке , то производную можно определить из равенства

так как функция тождественно равна постоянной и, следовательно, ее производная равна нулю.

Пример 2

Вычислите производную , если дифференцируемая функция задана неявно равенством

Решение

Согласно теореме производную следует определять из равенства .

Вычислим все производные в левой части этого соотношения, используя правила дифференцирования.

Из полученного равенства определим производную .

Замечание
Аналогично вычисляется дифференциал функции, заданной неявно.

Пример 3

Найдите дифференциал функции , заданной неявно равенством

Решение

Поскольку переменная является функцией , то левая часть заданного уравнения также является функцией . Эта функция тождественно равна нулю. Следовательно, ее дифференциал тождественно равен нулю.

Вычислим дифференциал каждого слагаемого в левой части, используя правила дифференцирования.

Из полученного равенства определим дифференциал .

Замечание
Обращаем Ваше внимание на то, что в примерах 2 и 3 производная и дифференциал неявных функций также являются неявными функциями. В выражения для них входит функция

, вид которой неизвестен.