Из определения вертикальной асимптоты следует, что вертикальные асимптоты следует искать в точках бесконечного разрыва функции.

Если  или , то прямая  является вертикальной асимптотой справа или слева.

Найдите вертикальные асимптоты графика функции .

,

 и .

Из этого следует, что прямые ,  и  являются вертикальными асимптотами графика функции. Чтобы выяснить поведение функции вблизи вертикальных асимптот, исследуем заданную функцию на знак.

Рис. 22.

Из рисунка 22 можно определить знаки бесконечных пределов.

 и .

 и .

 и .

Легко выяснить, что. Эскиз графика функции можно построить, не проводя исследования функции на экстремум и не выясняя характер ее выпуклости (рис. 23).

Рис. 23.

Прямая  является наклонной асимптотой графика функции  тогда и только тогда, когда существуют и конечны пределы:

.

1) Пусть прямая  является наклонной асимптотой графика функции . Тогда по определению наклонной асимптоты справедливо

.

Разделив выражение под знаком предела на , получим

, или .

Так как , то

2) Пусть , где . Тогда функция  является бесконечно малой при . Из этого следует, что , а это означает, что прямая  является наклонной асимптотой графика функции .

Если , то уравнение наклонной асимптоты принимает вид . Такая асимптота называется горизонтальной.

Функция может вести себя по-разному вблизи наклонной асимптоты.

-   Функция может иметь одну и ту же наклонную асимптоту при  (рис.24 a).

-   Функция может иметь разные наклонные асимптоты при  и  (рис.24 b).

-   Функция может иметь наклонную асимптоту только при  или при  (рис. 24 c).

Рис. 24 a.             Рис. 24 b.                   Рис. 24 c.

Найдите асимптоты графика функции .

Заданная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, следовательно, ее график не имеет вертикальных асимптот.

Выясним, имеет ли график функции наклонные асимптоты вида .

.

Поскольку , то асимптоты разные при  и . Поэтому

.

.

При  график функции имеет горизонтальную асимптоту .

.

.

При  график функции имеет горизонтальную асимптоту . График функции показан на рисунке 25.

Рис. 25.

Проведите полное исследование функции  и постройте ее график.

Проведем исследование заданной функции по следующей схеме.

1.   Область определения функции (ООФ) и вертикальные асимптоты.

О.О.Ф.: . Поскольку , то прямая  -  вертикальная асимптота.

2.   Четность функции, периодичность функции.

Функция общего вида и непериодическая.

3.   Корни и знаки функции.

Корень функции . Функция неотрицательна при всех значениях .

4.   Монотонность функции. Экстремумы.

Вычислим первую производную функции.

.

Отметим на числовой оси стационарную точку,  и точку разрыва функции. Определим знак первой производной на каждом из полученных интервалов и отметим стрелками характер монотонности функции (рис.26).

Рис. 26.

Из рисунка ясно, что  - точка минимума. Для построения графика требуется найти значение функции в точке минимума:. В точке разрыва меняется характер монотонности функции.

5.   Выпуклость функции. Точки перегиба.

Вычислим вторую производную заданной функции.

Вторая производная обращается в ноль в точке  и меняет знак. Это точка перегиба. В точке разрыва  вторая производная знак не меняет. Определим знак второй производной на всей числовой оси и отметим на ней характер выпуклости функции (рис.27).

Рис. 27.

Значение функции в точке перегиба .

6.   Наклонные (горизонтальные) асимптоты.

Выясним, имеет ли функция наклонную асимптоту вида . Для этого вычислим пределы:

.

.

Следовательно, график функции имеет горизонтальную асимптоту .

Введем прямоугольную декартову систему координат. Для того, чтобы построить график исследованной функции, нужно:

·   Провести вертикальные и наклонные асимптоты.

·   Отметить все характерные точки (корни, точки экстремума, точки перегиба).

·   Соединить характерные точки кривыми в соответствии с исследованием функции на выпуклость.

График заданной функции построен на рисунке 28.

Рис. 28.