5.2.3.1. Многочлен Тейлора Skip Navigation LinksВысшая математика > 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной > 5.2. Исследование функций > 5.2.3. Формула Тейлора и ее применение. Исследование функций с помощью производных высших порядков > 5.2.3.1. Многочлен Тейлора

  Многочлен Тейлора
Нами уже говорилось, что многочленом  - й степени относительно переменной  называется многочлен вида
.
Многочлен вида
.
также является многочленом  - й степени относительно переменной . Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то его можно привести к виду, в котором записан многочлен . Многочлен  в отличие от многочлена  называют многочленом  - й степени относительно переменной , записанным по степеням .
  Определение

Пусть функция   раз дифференцируема в точке . Многочлен  - й степени относительно переменной , записанный по степеням , называется многочленом Тейлора для функции  в точке , если: в этой точке равны значения функции  и многочлена , а также значения всех их производных до  - го порядка.

Из определения следует, что многочлен вида
является многочленом Тейлора для функции  в точке , если выполняются равенства:
.
На основании определения можно получить формулы для коэффициентов  многочлена Тейлора.
  Теорема

Если многочлен

является многочленом Тейлора функции  в точке , то его коэффициенты  определяются по формулам:

  Доказательство

Так как  и , то

.

Вычислим производную от многочлена Тейлора

и подставим в это равенство . Получим .

Поскольку из определения многочлена Тейлора следует, что должно быть выполнено условие , то

.

Вычислим вторую производную от многочлена Тейлора

.

Подставив в это равенство , получим, что . Так как для многочлена Тейлора справедливо , то , откуда следует, что

.

Вычислим третью производную от многочлена Тейлора

и подставим в нее . Получим . Так как должно быть выполнено условие , то , откуда следует, что

.

Последовательно дифференцируя  раз многочлен Тейлора и подставляя в производную , получим формулу для коэффициента  при любом значении :

.
 
Hosted by uCoz