6.1.1. Прямое произведение множеств. n- мерное пространство Rn

6.1.1. Прямое произведение множеств. n- мерное пространство Rn

Высшая математика > 6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных > 6.1. Функции многих переменных > 6.1.1. Прямое произведение множеств. n- мерное пространство Rn

Определение 1.
Пусть заданы два множества и . Прямым произведением этих множеств называется множество всех упорядоченных пар , где и .

Замечание. Упорядоченность пары

следует понимать в том смысле, что

Пример 1.

Если заданы множества и , то их прямое произведение

Пример 2.

Если - множество всех вещественных чисел, то прямое произведение или пространство - это множество всех упорядоченных пар вещественных чисел. Если использовать метод координат, то можно установить взаимное однозначное соответствие между элементами и точками плоскости с выбранной на ней системой координат.

Пример 3.

или пространство - это множество всех упорядоченных троек вещественных чисел. Метод координат позволяет установить взаимно однозначное соответствие между элементами и точками трехмерного Евклидова пространства с выбранной в нем декартовой системой координат.

Определение 2.

Прямое произведение , то есть множество всех упорядоченных наборов из вещественных чисел называется - мерным пространством и обозначается: .

Элементы называются точками пространства и обозначаются .

Вещественные числа называются координатами точки .

Определение 3.
Расстоянием между точками и пространства называется число, , которое определяется по формуле:

Теорема.

Расстояние между точками и из пространства удовлетворяет следующим соотношениям:

a) .

b) .

c) .

d) .

Утверждения и теоремы очевидны из определения расстояния. Утверждение , так называемое неравенство треугольников, доказывается аналогично тому, как это было сделано для расстояния в линейном векторном евклидовом пространстве.

Пространство , в котором определено расстояние между двумя точками (метрика), называется метрическим.