6.1.2. Окрестности точек в пространстве Rn. Классификация точек. Открытые и замкнутые множества Skip Navigation LinksВысшая математика > 6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных > 6.1. Функции многих переменных > 6.1.2. Окрестности точек в пространстве Rn. Классификация точек. Открытые и замкнутые множества

  Определение 1.

Пусть  и  - вещественное число.  - окрестностью точки  называется множество точек , для которых справедливо: . -окрестность точки  обозначается .

  Пример 1.

Если , то - открытый круг (граница не входит в это множество) с центром в точке  и радиусом  (рис.1). Если , то - открытый шар (граница не входит в это множество) с центром в точке  и радиусом  (рис.2).
Рис. 1
    
Рис. 2

  Определение 2.

Пусть  и . Проколотой - окрестностью точки  называется множество , то есть множество точек , для которых справедливо: . Проколотая  - окрестность точки  обозначается .

  Определение 3.

 Точка называется внутренней точкой множества , если .

  Определение 4.

Точка  называется граничной точкой множества , если ее любая окрестность содержит как точки множества , так и точки, не принадлежащие .

  Определение 5.

Точка  называется предельной точкой множества , если любая ее проколотая окрестность содержит хотя бы одну точку множества .

Замечание. Граничные и предельные точки множества могут и не принадлежать этому множеству.
  Определение 6.

Совокупность всех граничных точек множества называется его границей.

  Пример 2.

Для множества точек  пространства ,

для которых справедливо: , и которое геометрически в прямоугольной системе координат изображается кубом (рис.3), начало координат  является граничной и предельной точкой, а точка - внутренней.
Рис. 3

  Пример 3.

Пусть множество  является объединением множества пар чисел , для которых , и точки . Все точки этого множества кроме точки - внутренние и предельные. Точки , для которых - граничные и предельные (рис.4). Точка  не является ни внутренней, ни предельной, ни граничной.
Рис. 4

  Определение 7.

Множество  называется открытым, если все его точки - внутренние.

  Определение 8.

Множество  называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

  Пример 4.

Множество :  является открытым. Множество :  является замкнутым.

Замечание. Не следует понимать, что любое множество открыто или замкнуто. Множество , согласно определению, не является ни тем, ни другим. Кроме того, можно указать множества, которые и замкнуты и открыты одновременно. Например, множество вещественных чисел  и замкнуто и открыто одновременно,. Если его не рассматривать как подмножество , то оно открыто. Если считать , то оно замкнуто.
 
Hosted by uCoz