7.1.1. Первообразная и неопределенный интеграл Skip Navigation LinksВысшая математика > 7. Интегральное исчисление функций одной переменной > 7.1. Неопределенный интеграл > 7.1.1. Первообразная и неопределенный интеграл

В разделе 5.1.1 мы ввели понятие производной и научились находить производную от данной функции.
В этой главе мы будем решать обратную задачу, а именно: известна функция , требуется найти такую функцию , производная которой равна , т.е. .
  Определение.

Функция  называется первообразной для функции  на интервале , если  дифференцируема на  и .

Замечание
Аналогично можно определить понятие первообразной на отрезке  , но в точках  и  надо рассматривать односторонние производные.
Примеры.
1)  есть первообразная для функции  на , т.к. .
2) Для функции  первообразной будет функция  на , т.к. .
  Теорема 1.

Если  первообразная для функции  на , то , где  - любое постоянное число, также первообразная для .

  Доказательство.

.

  Теорема 2.

Если  и  - две первообразные для  на , то на , , где  - постоянная.

  Доказательство.

По условию . Составим функцию  и найдём ее производную:

.

Отсюда , т.е. .

  Определение.

Если функция  является первообразной для , то выражение , где , называют неопределённым интегралом от функции .

Обозначается: 

При этом  называют подынтегральной функцией,  - подынтегральным выражением, знак  - знаком интеграла.

В дальнейшем будем предполагать, что функция  определена и непрерывна на некотором промежутке.
С геометрической точки зрения неопределённый интеграл представляет собой совокупность (семейство) кривых (интегральных), каждая из которых получается путём сдвига одной из кривых параллельно самой себе вдоль оси ОУ.
Рис. 1

Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием  функции .
 
Hosted by uCoz