7.2.1. Понятие определенного интеграла

7.2.1. Понятие определенного интеграла

Высшая математика > 7. Интегральное исчисление функций одной переменной > 7.2. Определенный интеграл > 7.2.1. Понятие определенного интеграла

Пусть на отрезке

задана непрерывная функция

(рис. 1). Разделим

на части произвольными точками:

. Обозначим через

Рис. 1

На каждом частичном отрезке

разбиения выберем произвольную точку

.В каждой точке

вычислим значение функции

.
Составим сумму

, которую будем называть интегральной суммой функции

, соответствующей этому разбиению.
Обозначим через

максимальную длину частичных отрезков

Определение.

Пусть непрерывная функция на . Если существует предел последовательности интегральных сумм при (и ) и не зависящего от способа разбиения отрезка, то он называется определенным интегралом от функции на отрезке . Функция называется интегрируемой на .

Обозначается: ,

где - нижний предел интегрирования; - верхний предел интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть функция непрерывна и неотрицательна на . Произведение численно равно площади прямоугольника, имеющего основание и высоту .

Построив на каждом отрезке такой прямоугольник, получим ступенчатую фигуру, площадь которой равна интегральной сумме .

Если , то площадь ступенчатой фигуры будет стремиться к площади так называемой криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми , и осью (рис. 2).

Таким образом .

Рис. 2.

Замечание

Понятие определенного интеграла так, как мы его определили, было введено для непрерывных функций французским математиком Коши. Говорят, что непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем в смысле Коши.

В общем случае - для функций не обязательно непрерывных - может существовать предел интегральных сумм, тогда говорят, что функция интегрируема в смысле Римана. Это определение дано немецким математиком Б. Ф. Риманом (1826-1866гг.).