1.10. Однородные СЛАУ Skip Navigation LinksВысшая математика > 1. Элементы линейной алгебры > 1.10. Однородные СЛАУ

  Определение 1

Система  линейных алгебраических уравнений с  неизвестными называется однородной (однородной СЛАУ), если все свободные члены , где : .

Замечание 1

Однородная СЛАУ всегда совместна, она всегда имеет нулевое (тривиальное) решение:

, , ,  или .

Рассмотрим матрицу однородной системы:  и ее расширенную матрицу: .

Замечание 2

Так как матрица  отличается от матрицы  только нулевым столбцом, что не дает новых миноров, отличных от нуля, то у однородной СЛАУ .

  Теорема 1 (теорема Кронекера-Капелли для однородной СЛАУ )

Если , то однородная СЛАУ имеет единственное решение (нулевое). Если , то однородная СЛАУ имеет бесконечно много решений (есть ненулевые решения).

  Пример 1

Имеет ли однородная СЛАУ:  ненулевые решения и какие?

  Решение

Выпишем расширенную матрицу системы и выполним действия по методу Гаусса:

. Так как есть минор 3-го порядка, отличный от нуля: , то . Поскольку число неизвестных: , то . Из этого следует, что система имеет ненулевые решения. Эти решения можно записать в виде: , ( - любое вещественное число), при :  - ненулевой.  

  Определение 2

Пусть однородная СЛАУ имеет  ненулевых решений . Эти решения образуют фундаментальную систему, если любое решение системы , можно представить в виде: , где - произвольные постоянные. Это выражение называется линейной комбинацией решений . При этом, если ранг матрицы системы с  неизвестными равен , то число решений в фундаментальной системе (число свободных неизвестных): .

  Пример 2

Имеет ли однородная СЛАУ:  ненулевые решения? Если да, то найти их, выписав фундаментальную систему решений.

  Решение

Выпишем расширенную матрицу системы и выполним действия по методу Гаусса:

   .

Один из миноров 2-го порядка отличен от нуля: , следовательно . Так как число неизвестных: , то . Из этого следует, что система имеет бесконечно много решений (есть ненулевые решения), которые можно записать в виде: , где ,  - базисные неизвестные, ,  - свободные неизвестные (любые вещественные числа). Найдем их. Поскольку число свободных неизвестных: , то в фундаментальной системе будет два решения. Обозначив: , получим решение системы в виде: , где ,  - фундаментальная система решений.

  Теорема 2

Если матрица  однородной СЛАУ - квадратная, то однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда .

  Пример 3

Имеет ли однородная СЛАУ:  ненулевые решения?

  Решение

Матрица системы:  - квадратная. Так как , то система имеет только нулевое решение: .
 
Hosted by uCoz