1.8. Метод Гаусса

1.8. Метод Гаусса

Высшая математика > 1. Элементы линейной алгебры > 1.8. Метод Гаусса

Целью метода Гаусса является: пользуясь элементарными преобразованиями получить в первых

- строках и

- столбцах расширенной матрицы единичную матрицу.
При этом возможны три случая:

1. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:

. Система имеет единственное решение

Пример 1
Методом Гаусса решить СЛАУ: .
Замечание
Это уже третий способ решения данной системы. До этого решение системы было найдено по формулам Крамера и матричным методом.
Решение
Выпишем расширенную матрицу системы: . 1 - ый шаг. Получим в верхнем левом углу матрицы единицу. Для этого поменяем местами первую и вторую строки: . Умножим первую строку на и прибавим ее ко второй строке, затем умножим первую строку на и прибавим ее к третьей строке. После выполнения указанных операций все элементы первого столбца матрицы, кроме , окажутся равными нулю: . Чтобы упростить дальнейшие вычисления, мы еще разделим третью строку на общий множитель всех ее элементов - : . 2 - ой шаг. Теперь сделаем элемент равным единице, а остальные элементы второго столбца "обнулим". Для этого поменяем местами вторую и третью строки: . Умножим вторую строку на и прибавим ее к первой строке, затем к третьей строке прибавим вторую строку: . 3 - ий шаг. Разделим третью строку на , после этого элемент будет равен единице: . Умножим третью строку на и прибавим ее ко второй строке, затем умножим третью строку на и прибавим ее к первой строке, тогда все элементы третьего столбца матрицы, кроме , окажутся равными нулю: . В итоге получаем единственное решение системы: .

2. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:

В этом случае система имеет бесконечно много решений, которые можно записать в виде:

, где

- базисные неизвестные,

- свободные неизвестные (любые вещественные числа).

Пример 2

Решить СЛАУ: .

Решение

Выпишем расширенную матрицу системы и выполним действия по методу Гаусса:

. Таким образом, получаем бесконечно много решений системы в виде: , где - базисные неизвестные, - свободная неизвестная. Если обозначить ( - любое вещественное число), решение системы можно записать в виде: .

3. Расширенная матрица СЛАУ приведена к виду:

, где хотя бы одно из чисел

отлично от нуля. В этом случае система не имеет решений.

Пример 3

Решить СЛАУ: .

Решение

Выпишем расширенную матрицу системы и выполним действия по методу Гаусса: . Последнее уравнение системы имеет вид: . Следовательно, данная система несовместна.