Для матричного уравнения:  решение находится по формуле: .

Пусть  - невырожденная матрица, то есть , из этого следует, что существует обратная матрица  Умножим матричное уравнение  слева на , получим: , , откуда: .

Пусть дана СЛАУ -ого порядка: .

Рассмотрим следующие матрицы: матрицу системы: , столбец неизвестных:  и столбец свободных членов: .

Матричная запись СЛАУ имеет вид: .

 Перемножим матрицы: .

Очевидно, что матричная запись СЛАУ это частный случай 1-ого типа матричных уравнений (при ), поэтому ее решение также находится по формуле: .

Решить матричным методом СЛАУ: .

Решение этой системы мы уже находили по формулам Крамера.

Выпишем матрицу системы: , столбец неизвестных:  и столбец свободных членов: . Определитель системы: . Находим обратную матрицу: . Тогда решение системы в матричной форме имеет вид: , следовательно: .

 Если определитель СЛАУ -ого порядка  отличен от нуля , то системе имеет, и притом единственное, решение, которое может быть найдено по формулам Крамера: , ,:,.

При  решение системы может быть найдено матричным методом, то есть: .

Вспомним, что в формулах Крамера вспомогательные определители  получаются из определителя системы заменой столбца коэффициентов при неизвестном  столбцом свободных членов, то есть: , где . Разложим эти определители по элементам -ого столбца:  и подставим эти разложения в решение системы, получим: , где - определитель системы. Отсюда следует, что решение системы действительно может быть найдено по формулам Крамера: , ,:,, при .

Для матричного уравнения  решение находится по формуле: .

Пусть  - невырожденная матрица, то есть , из этого следует, что существует обратная матрица . Умножим матричное уравнение  справа на , получим: , , откуда: .

Решить матричное уравнение: .

, . Так как , то существует обратная матрица . Тогда решение матричного уравнения имеет вид: .