1.5. Обратная матрица

1.5. Обратная матрица

Высшая математика > 1. Элементы линейной алгебры > 1.5. Обратная матрица

Определение 1

Квадратная матрица вида называется единичной. Обозначается: .

Теорема 1

Для любой квадратной матрицы -ого порядка справедливы равенства: .

Доказательство

, доказательство того, что - аналогично.

Определение 2

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля: .

Определение 3

Пусть - квадратная матрица -ого порядка. Обратной для матрицы называется матрица, обозначаемая , для которой выполняются равенства: .

Замечание 1

Обратная матрица имеет такой же порядок, что исходная матрица.

Замечание 2

Матрицы и - коммутативны.

Определение 4

Матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , называется союзной к матрице .

Теорема 2

Если - квадратная невырожденная матрица, то для нее существует обратная матрица , такая что: , где - союзная матрица.

Доказательство

Для заданной матрицы: , составим союзную матрицу и транспонируем ее: . Вычислим произведение: (по 9-ому и 10-ому свойствам определителя) . Из этого следует, что матрица действительно является обратной.

Пример

Найти обратную матрицу для матрицы: .

Решение

Вычислим определитель: . Найдем союзную матрицу: . Транспонируем ее: . Получим: .

Проверка

.