2.5. Коллинеарные вектора

2.5. Коллинеарные вектора

Высшая математика > 2. Векторная алгебра > 2.5. Коллинеарные вектора

Коллинеарные векторы
Векторы называются коллинеарными, если один можно получить из другого умножением на число.
Из правила умножения направленного отрезка на число следует, что направленные отрезки, изображающие коллинеарные векторы, параллельны. Они одинаково направлены, если один вектор получен из другого умножением на положительное число и противоположено направлены, если один вектор получен из другого умножением на отрицательное число. Для коллинеарных векторов используется такое же обозначение, как и для параллельных отрезков.
Итак, если то , или ,
или , или .

Пример 1.
Выяснить, при каких значениях p и q векторы и коллинеарны?
Решение.
Из условия коллинеарности векторов следует или , а тогда , .
Ответ.
, .

Пример 2.
Найти орт вектора .
Решение.
Ортом вектора называется вектор, который сонаправлен данному, и модуль которого равен 1. Обозначим искомый вектор и воспользуемся условием коллинеарности векторов и . , причем - положительное число. Поскольку , то . Тогда . Или и . Теперь можно определить координаты вектора , .
Ответ.
.

В разделе “Элементы линейной алгебры” было дано определение линейно зависимых векторов, а так же необходимое и достаточное условие линейной зависимости. Учитывая это, можно вывести геометрический смысл линейной зависимости двух векторов. Поскольку в случае коллинеарности двух векторов один из них выражается линейно через другой, то два вектора в

линейно зависимы, тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Пример 3.
Являются ли векторы и линейно независимыми?
Решение.
Поскольку , то векторы и - коллинеарны, а, следовательно, линейно зависимы.
Ответ.
Векторы линейно зависимы.