 Определение 1 |
Пусть функция  задана на промежутке  и пусть точка  , а число  такое, что новая точка  . Приращением  функции  в точке  называется разность значений функции в точках  и  , то есть |
 . |
При этом число  называется приращением
аргумента |
Производной функции  в точке
 называется предел отношения приращения функции  к приращению аргумента  условии, что приращение
аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и
конечен. |
Для производной используются обозначения  , или просто  . Итак:
или, учитывая определение 1,
| Геометрический смысл
производной |
|
Производная функции  в точке  равна угловому коэффициенту
касательной, проведенной
к графику этой функции в точке с абсциссой  . |
| Доказательство. |
 |
| Рис.1. |
Пусть  - непрерывная на промежутке  функция. В точке  проведем невертикальную касательную  . Через точки  и  проведем секущую  (рис.1).
Обозначим через  угол, который секущая  составляет с осью  , а через  - угол между осью  и касательной  .
Из рисунка 1 ясно, что для угла  , равного углу  в прямоугольном треугольнике  , выполнено равенство:  . При  точка  , двигаясь по оси  стремится к точке  , а точка  , двигаясь по графику функции  , в силу непрерывности стремится к точке  . Тогда
прямая  при  займет положение касательной  . Поэтому  , где  - угловой коэффициент касательной. Таким образом,
доказано, что  . |
|
 |
