Если функция  дифференцируема в точке , то уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой  имеет вид

.

Было доказано, что производная дифференцируемой в точке  функции  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой . Следовательно, если записать уравнение касательной в виде , то . Тогда уравнение примет вид

.

Параметр  определим, учитывая, что касательная проходит через точку . Подставив в уравнение касательной , , получим

.

Из этого соотношения следует, что  и уравнение касательной примет вид:

.

Напишите уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

Уравнение касательной запишем в виде:

.

Поскольку , , , то касательная к графику заданной функции в точке  задается уравнением

.

Найдите угол между кривыми  и  в точке их пересечения.

Углом между кривыми, пересекающимися в точке с абсциссой , называется угол между их касательными, проведенными в этой точке. Поскольку уравнение  имеет один корень , то кривые пересекаются в точке с абсциссой .

Напомним, что угол между прямыми, заданными уравнениями  и , определяется по формуле

.

Так как , то угловой коэффициент  касательной к графику функции  в точке абсциссой  равен: .

Так как , то угловой коэффициент  касательной к графику функции  в точке абсциссой  равен:.

Следовательно, , откуда следует, что , то есть кривые в точке их пересечения образуют прямой угол.