Если дифференцируемая в окрестности точки  функция  имеет в этой точке экстремум, то ее производная в точке  равна нулю.

Функция  удовлетворяет всем условиям теоремы Ферма в окрестности . Тогда по теореме Ферма справедливо условие .

Условие равенства нулю производной является необходимым, но не достаточным. Примером этому может служить функция . Ее производная  равна нулю в точке . Однако функция всюду возрастает (рис.5) и не имеет экстремумов.
Для исследования функции на экстремум более важным является следствие из необходимого условия.

Если производная дифференцируемой в точке  функции отлична от нуля, то в точке  нет экстремума.

Если функция  дифференцируема в окрестности  точки ,  и производная  меняет знак при переходе через точку , то функция  имеет в точке  экстремум.

При этом:

если в точке  производная  меняет знак с плюса на минус, то этот экстремум - максимум (рис.11);		Рис. 11
если в точке  производная  меняет знак с минуса на плюс, то этот экстремум - минимум (рис.12).		Рис. 12

Пусть  и пусть в точке  производная  меняет знак с плюса на минус, то есть

для всех .

На основании достаточных условий монотонности функции это означает, что для всех  функция возрастает при  и убывает при . Тогда

,

Следовательно,  для всех , что согласно определению, означает, что точка  - точка максимума функции.

Аналогично доказывается теорема, если производная в точке  меняет знак с минуса на плюс.

Исследуйте функцию  на экстремум.

Заданная функция определена при всех значениях . Производная заданной функции равна

, следовательно, функция дифференцируема на всей области определения.

Так как  при , то, по следствию из теоремы Ферма, экстремум может быть только в точке . Чтобы выяснить, есть ли в этой точке экстремум, надо выяснить меняет ли знак производная при переходе через эту точку (рис.13).

Рис. 13

Поскольку производная меняет знак в точке  с минуса на плюс, то в этой точке заданная функция имеет минимум.

Учитывая теорему о достаточном условии экстремума, можно определить точки экстремума, как точки, в которых меняется характер монотонности функции.

Производная может менять знак и в точках разрыва, то есть в тех точках, в которых производная  или не существует. Если эти точки входят в область определения функции, то они также являются точками ее экстремума, так как в них меняется характер монотонности. Точки экстремума, в которых производная  или не существует, называются точками острого экстремума: острого минимума и острого максимума (рис14).

Рис. 14

Стационарные точки функции , а также точки, в которых производная  или не существует, называются критическими. Только в этих точках следует искать экстремум функции. К критическим точкам относят также и точки разрыва функции, так как в этих точках может меняться характер ее монотонности.

Исследуйте функцию  на экстремум.

.

 при .  при . Поскольку функция определена на всей числовой оси, то других критических точек нет. Отметим на числовой оси точки  и . Они разобьют числовую ось на три интервала. Выясним знак производной  на каждом из полученных интервалов и по знаку производной определим характер монотонности функции (рис.15). Из рисунка ясно, что заданная функция имеет максимум в точке  и острый минимум в точке . На рисунке 15 показан график функции.

Рис. 15.

Исследуйте функцию  на экстремум.

.

Критическими точками функции являются стационарные точки  и , а также точка разрыва . Отметим их на числовой оси и определим знак производной на каждом из полученных интервалах (рис.16).

Рис. 16.

Из рисунка ясно, что функция имеет максимум в точке  и минимум в точке . В точке разрыва характер монотонности не меняется.