Пусть функция   раз дифференцируема в некоторой окрестности  точки  и пусть  - ее многочлен Тейлора в точке  . Если обозначить  , то функцию  в окрестности  точки  можно представить формулой:
 (1) |
или
 . (2) |
 Теорема |
|
|
| Доказательство |
|
очевидно, так как  , а функция  также, как и ее многочлен
Тейлора непрерывны. Тогда
 .
| | Замечание |
Можно доказать, что остаточный член  при  является бесконечно малой более высокого порядка,
чем  . Это записывается в следующем
виде:
 .
Подобная форма записи остаточного члена формулы Тейлора называется
остаточным членом в форме Пеано.
Используя форму Пеано для остаточного члена, можно
записать формулу Тейлора в следующем виде.
 .
|
| Определение 2 |
|
Пусть функция   раз дифференцируема в некоторой окрестности  точки  . Формула
 ,
называется формулой Маклорена. |
| Замечание
1 |
|
Из определения ясно, что формула Маклорена получится из формулы
Тейлора, если положить  . |
| Замечание
2 |
|
Можно доказать, что остаточный член формулы
Тейлора имеет вид:
 ,
где  . Такая форма записи остаточного члена называется
остаточным членом в форме
Лагранжа. |
|
 |
