6.2.1. Частные производные функций n переменных

6.2.1. Частные производные функций n переменных

Высшая математика > 6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных > 6.2. Дифференцирование функций n переменных > 6.2.1. Частные производные функций n переменных

Определение 1.

Пусть функция определена на множестве . Пусть точки и принадлежат этому множеству. Частным приращением функции по переменной называется число, равное разности значений функции в этих точках, то есть или .

Частное приращение обозначается или .

В частности, для функции двух переменных частные приращения в точке по переменным и равны:

Определение 2.

Пусть функция определена на множестве и пусть . Если существует и конечен , то он называется частной производной функции по переменной и обозначается или .

В частности, для функции двух переменных частные производные по и определяются как пределы

если они существуют и конечны.

Замечание 1. Ясно, что частные производные функции переменных в свою очередь являются функциями этих же переменных.

Замечание 2. Из определения частных производных следует, что при вычислении частной производной функции

по переменной

, следует рассматривать ее как функцию одной переменной

, а все остальные переменные считать постоянными.

Замечание 3. Из определения частных производных и замечания 2, можно сделать вывод, что при частном дифференцировании функции

переменных справедливы все правила дифференцирования, а также таблица производных, полученные для функции одной переменной.

Пример 1.

Вычислите частные производные функции двух переменных .

Решение.

Заданная функция является степенной относительно переменной и показательной относительно переменной . Поэтому

, .

Пример 2.

Вычислите частные производные функции трех переменных .

Решение.

, , .

Пример 3.

Вычислить частные производные для функции двух переменных .

Решение.

Используя правило дифференцирования частного, вычислим , или .

Поскольку переменные и входят в аналитическое выражение функции симметрично, то частную производную по можно получить, заменяя в частной производной на , а на . То есть .

Следует заметить, что частным производным функции двух переменных можно дать наглядный геометрический смысл.

Теорема 1.

Пусть функция двух переменных определена на множестве и точка . Частная производная равна , где - угол между касательной, проведенной к пространственной кривой, заданной системой , в точке с координатами и осью .

Доказательство.

При вычислении частной производной переменная сохраняет постоянное значение . Функция геометрически задает линию пересечения поверхности с плоскостью . Из геометрического смысла производной функции одной переменной следует, что равняется угловому коэффициенту касательной к этой кривой в точке с ординатой или , где - угол, который эта касательная составляет с осью (рис. 8).

Рис. 8.

Справедлива аналогичная теорема о геометрическом смысле частной производной .

Теорема 2.
Путь функция двух переменных определена на множестве и точка . Частная производная , где - угол между касательной, проведенной к пространственной кривой, заданной системой , в точке с координатами и осью .

Пример 4.
Какой угол составляет касательная к кривой в точке с осью ?
Решение.
Если - искомый угол, то . Определим и вычислим в точке . , следовательно, искомый угол .