6.5.1. Неявная функция. Дифференцируемость неявной функции. Формула для частных производных функции двух переменных, заданной неявно

Высшая математика > 6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных > 6.5. Производные функций нескольких переменных, заданных неявно > 6.5.1. Неявная функция. Дифференцируемость неявной функции. Формула для частных производных функции двух переменных, заданной неявно

Определение.

Функция называется заданной неявно в окрестности точки , если задано уравнение и если:

· ;

· единственное : .

В частности, уравнение в окрестностях тех точек , для которых уравнение имеет хотя бы один корень , задает неявную функцию , значения которой равны корням этого уравнения.

При этом уравнение иногда может быть разрешено относительно , а иногда нет. Не следует путать вопрос о существовании неявной функции с вопросом получения ее в виде явной зависимости. Следующая теорема дает условия существования, единственности и дифференцируемости неявной функции.

Теорема 1.

Если функция :

· непрерывна в окрестности точки ;

· имеет в этой окрестности непрерывные частные производные по всем переменным;

· ;

то уравнение задает в окрестности точки однозначную дифференцируемую функцию , для которой справедливо .

Доказательство.

В силу сложности и громоздкости доказательства этой теоремы, рассмотрим ее доказательство только для функции двух переменных , заданной неявной зависимостью , где функция непрерывна и дифференцируема в некоторой - окрестности точки и . Если точка принадлежит этой окрестности, то

и ,

тогда и . Для левой части последнего равенства можно использовать теорему Лагранжа.

Из последнего равенства следует, что . Переходя в нем к пределу при и учитывая, что частные производные непрерывны, получим

Замечание.

Мы не только доказали дифференцируемость функции , но и получили формулу для вычисления ее производной.

Аналогично доказывается, что функция двух переменных , заданная уравнением , где - дифференцируемая по всем переменным функция, дифференцируема в точках, в которых и ее частные производные вычисляются по формулам

, .

Пример 1.

Выясните, в каких точках дифференцируема функция , заданная неявно, и вычислите ее производную, если .

Решение.

. Поэтому функция дифференцируема во всех точках, за исключением тех, где . Поскольку , то функция дифференцируема везде, где выполняется условие . Так как , то

Пример 2.

Выясните, в каких точках дифференцируема функция , заданная неявно, и вычислите ее производную, если .

Решение.

Так как , то функция дифференцируема во всех точках, за исключением тех, в которых . , следовательно, функция дифференцируема везде, где выполняется условие . Учитывая, что и , можно записать

, .