1.5. Уравнение плоскости в отрезках

1.5. Уравнение плоскости в отрезках

Оглавление > Аналитическая геометрия > 1. Аналитическая геометрия в пространстве > 1.5. Уравнение плоскости в отрезках

Теорема

Если плоскость пересекает все три координатные оси и заданы абсцисса точки пересечения плоскости с осью , ордината точки пересечения плоскости с осью и аппликата точки пересечения плоскости с осью , то уравнение плоскости может быть записано в виде

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках, а числа , и - <отрезками>.

Доказательство

Для доказательства воспользуемся тем, что заданная плоскость проходит через точки , и (рис. 6). Нормальным вектором плоскости является вектор .

Рис. 6

Поскольку и , то . Подставим координаты точки и вектора в уравнение плоскости с нормальным вектором (4) . Получим

или .

Каждое слагаемое последнего уравнения разделим на произведение и получим уравнение , что и требовалось доказать.

Задача
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающей на координатных осях отрезки, равной длины.
Решение
Уравнение плоскости будем искать в виде . Из условия возможны следующие случаи: 1. , тогда имеем и, подставив в это уравнение координаты точки , найдем : , или ; тогда уравнение плоскости запишется . 2. , тогда и для получим , или ; уравнение плоскости примет вид . 3. , ; подставляем в это уравнение координаты точки : , или ; тогда уравнение плоскости . 4. , , , или ; тогда уравнение плоскости запишется в виде .
Ответ:
, или , или , или .