 Геометрический смысл смешанного
произведения |
 , где  - угол между векторами  и  . |
Построим на векторах  параллелепипед (рис. 16 a) и покажем, что
смешанное произведение  равно модулю объема этого параллелепипеда. Так как
 равно площади параллелограмма, построенного на
векторах  или площади основания параллелепипеда, построенного
на векторах  , а  - проекция вектора  на вектор  или высота h параллелепипеда, то  . |
 |
| Рис.
16 a
Рис. 16 b | |
Рис. 16 a сделан для векторов, которые образуют правую
тройку, в этом случае угол между векторами  и  острый и  . |
Если тройка векторов  - левая (рис. 16 b), то угол между
векторами  и  >90o. В этом случае  и тогда  . Поэтому  . При любом расположении векторов  . |
Геометричеcкий смысл смешанного произведения используют при
вычислении объемом параллелепипедов и тетраэдров, построенных на трех
векторах. Формула объема параллелепипеда уже получена  . |
Выведем формулу объема тетраэдра (четырехугольной пирамиды),
построенной на векторах  . |
 |
| Рис. 17 | |
Из рис. 17 легко видеть, что , где  - площадь треугольника в основании тетраэдра, а
h - его высота. Поскольку площадь треугольника  , где  - площадь параллелограмма, построенного на векторах
 и  , а высоты тетраэдра и параллелепипеда, построенных на
векторах  совпадают, то |
 . |
|
 |
