2.7. Смешанное произведение векторов и его свойства

2.7. Смешанное произведение векторов и его свойства

Высшая математика > 2. Векторная алгебра > 2.7. Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанное произведение векторов и его свойства
Смешанным произведением векторов , и называется число, которое обозначают и которое вычисляется по формуле:
, где , , .
Если разложить определитель по элементам первой строки, то
.
Учитывая, что
, можно установить, что смешанное произведение векторов , и представляет собой скалярное произведение векторов и , т.е. .
Из последней записи понятно, почему называется смешанным произведением, иногда его называют также векторно-скалярным.
Если определитель в определении смешанного произведения разложить по элементам третьей строки, то можно показать, что . Иначе говоря, в смешанном произведении любые два вектора умножаются векторно, а результат умножается на третий вектор скалярно. При этом должен сохраняться только порядок перемножаемых векторов.
.

Из свойств определителя можно установить следующие свойства смешанного произведения:

	Cвойства смешанного произведения
1.	Смешанное произведение меняет знак, если меняются местами любые два вектора
	.
2.	Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке векторов
	.
3.	Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы

Компланарные векторы

Если для трех векторов

выполняется

, то векторы называются компланарными.

Рис. 12

Из определения следует, что если

- компланарные векторы, то они коллинеарны какой-то одной плоскости. Поскольку по свойствам смешанного произведения они в этом случае линейно зависимы, следовательно, один из них, например

, может быть представлен линейной комбинацией двух других, то есть

(рис.12).

Пример 1.
Являются ли векторы , и линейно зависимыми?
Решение.
Из правила сложения направленных отрезков следует, что эти векторы компланарны, следовательно, они линейно зависимы.
Ответ.
Линейно зависимы.

Пример 2.

Лежат ли точки A(2,-1, -3), B(-4,1, -2), C(0, -6,3) и D(-12, -2,5) в одной плоскости?

Решение.

Если точки A, B, C и D лежат в одной плоскости, то векторы , , компланарны (рис. 13). Поэтому необходимо проверить, равно ли нулю смешанное произведение .