2.3. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения

2.3. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения

Высшая математика > 2. Векторная алгебра > 2.3. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения

Основными задачами, использующими скалярное произведение, являются:

1.Определение угла между векторам и и .
Косинус угла между векторами и вычисляется исходя из геометрического смысла скалярного произведения по формуле:
.

Пример 1.

Найти внутренний угол и внешний угол в треугольнике , если , и .

Рис. 8.

Решение.

Внутренний угол в треугольнике - это угол между векторами и .

Внешний угол в треугольнике - это угол между векторами и (рис. 8.).

Считается, что угол определен, если найдена любая из тригонометрических функций угла, например косинус, поэтому

Ответ.

=, .

Пример 2.
Найти угол между векторами и , если , , .
Решение.
Обозначим искомый угол и найдем его косинус
Ответ.
.

2. Вычисление проекции вектора на направление другого вектора.

Рис. 9

Пример 3.
Найти проекцию вектора на вектор , если , , , .
Решение.
. , . .
Ответ.
-3.

3. Вычисление работы, производимой вектором силы по перемещению материальной точки.

Пусть под действием вектора силы

материальная точка переходит в положение

. Если ввести вектор перемещения

, то работу

, производимую силой

, можно вычислить следующим образом:

, (рис. 10)

Рис. 10

Пример 4.
Вычислить работу равнодействующей трех сил , ,, приложенных к точке , если точка под действием этих сил переходит в положение и векторы сил равны: , , .
Решение.
Вектор перемещения . Равнодействующая трех сил . Тогда работа А, производимая силой , равна .
Ответ.
3.