3.1.6. Линии в пространстве. Общие уравнения прямой

3.1.6. Линии в пространстве. Общие уравнения прямой

Высшая математика > 3. Аналитическая геометрия > 3.1. Плоскость и прямая в пространстве > 3.1.6. Линии в пространстве. Общие уравнения прямой

Теорема 1

Если и - уравнения двух поверхностей в прямоугольной декартовой системе координат, то система задает в пространстве множество точек, принадлежащих как одной поверхности, так и другой, то есть их линии пересечения.

Следовательно, линия в пространстве задается системой двух уравнений с тремя переменными.

Пример 1

Система задает в пространстве линию пересечения сферы с центром в начале координат и с радиусом и координатной плоскости , то есть окружность с радиусом , расположенную в плоскости .

Пример 2

Система задает линию пересечения плоскости, параллельной координатной плоскости , и плоскости, параллельной координатной плоскости . Ясно, что это прямая, параллельная координатной оси (рис.7).

Рис. 7

Поскольку линией пересечения двух плоскостей является прямая, то справедлива следующая теорема.

Теорема 2
Прямая в пространстве задается системой двух линейных уравнений с тремя переменными.
.
Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.
Следует иметь в виду, что при этом между двумя уравнениями системы не должно быть линейной зависимости, то есть ранг матрицы системы должен быть равен 2.