Сначала докажем, что при   выполняется неравенство

Возьмём  четверть тригонометрического круга и отложим угол  радиан (рис. 10).

Рис. 10

Очевидно, что , найдём эти площади, зная, что радиус окружности равен .
, , .
Значит, .
Теперь докажем, что

- первый замечательный предел.

Рассмотрим . Тогда в силу нечётности справедливо неравенство
 
Так как в  и  четвертях все выражения под знаком модуля положительные (в  четверти  и ), то . Так как , то, по теореме о сжатой функции существует .