Пусть функция  имеет в точке  наибольшее значение. Из этого следует (рис.8), что

при  функция  возрастает и .

при  функция  убывает и .

Следовательно,  меняет знак при переходе через точку и .

Рис.8

Аналогично доказывается теорема, если  имеет в точке  наибольшее значение.

Если  (внутренняя точка) и , то в точке  функция не может иметь ни наибольшего, ни наименьшего значения. Если бы в точке  функция имела наибольшее или наименьшее значение, то выполнялось бы равенство .

В дальнейшем точки, в которых , будем называть стационарными.

1. Если функция тождественно равна постоянной, то теорема очевидна, так как  на всем промежутк .

2. Если функция  не равна тождественно постоянной, то она имеет на промежутке  наибольшее и наименьшее значения. Так как , то наибольшее или наименьшее значение достигается в какой-либо внутренней точке , а тогда по теореме Ферма  (рис.9).

Чтобы доказать эту теорему, построим функцию  и подберем число  так, чтобы эта функция удовлетворяла условиям теоремы Ролля.

Первые два условия выполнены, что ясно из вида функции. Чтобы было верным третье условие число  должно определяться из соотношения , из которого следует, что .

Тогда для функции , удовлетворяющей всем условиям теоремы Ролля, найдется точка , такая, что . Поскольку , то , или .

Рис.10.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что для непрерывной на промежутке  и дифференцируемой, по крайней мере, во внутренних его точках функции всегда найдется точка , касательная в которой параллельна прямой, соединяющей точки графика функции с абсциссами  и  (рис.10).

Из рисунка 10 ясно, что , откуда следует .

Если функции  и  - дифференцируемы в окрестности  точки  и если выполняется условие , причем  или , то существует предел .

Поскольку , то отношение можно представить в виде .

Обе функции  и  удовлетворяют условиям теоремы Лагранжа в окрестности . Тогда по теореме Лагранжа найдутся точка  и точка , такие, что для всех значений  справедливо

,

.

Тогда выражение под знаком предела можно представить в виде

,

откуда следует, что , так как при  выполняются условия  и .

Можно доказать правило Лопиталя в общем виде

.

Это замечание позволяет применять правило Лопиталя несколько раз, то есть для дважды дифференцируемых в окрестности  функций  и  предел их отношения равен

,

в том случае, когда  или .

Если же , а функции  и  - трижды дифференцируемы в окрестности , то правило применяется еще раз, и так далее, до тех пор, пока не устранится неопределенность.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя .

.

Правило Лопиталя справедливо и в том случае, когда .

.

Вычислить предел, используя правило Лопиталя .

. Такой вид неопределенности раскрывается с помощью основного логарифмического тождества. Представим сложно-показательную функцию под знаком предела в виде:

.

Затем вычислим предел показателя

.

Применяя правило Лопиталя, получим

.

, а бесконечно малые при  функции  и  можно заменить под знаком предела эквивалентными бесконечно малыми функциями  и . Учитывая это, получим

.

Тогда .