5.2.3.3. Формула Маклорена для основных элементарных функций Skip Navigation LinksВысшая математика > 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной > 5.2. Исследование функций > 5.2.3. Формула Тейлора и ее применение. Исследование функций с помощью производных высших порядков > 5.2.3.3. Формула Маклорена для основных элементарных функций

Формула Маклорена для основных элементарных функций
1. .
Поскольку , то, подставляя это в формулу Маклорена, получим
.
2. . .
Так как , то все производные четного порядка равны нулю, а производные нечетного порядка равны , причем знаки чередуются. Поскольку , то , то есть первый знак в формуле Маклорена - плюс. Учитывая все это формулу Тейлора для функции можно записать в виде:
;
3.
. Поскольку , то ,  для любых значений . При этом вторая производная . Значит, все производные порядка  равны -1, а все производные порядка  равны 1. Формула Маклорена для функции  имеет вид:
.
4. .
. Поскольку , то . Тогда формулу Маклорена для функции  можно записать в виде
или
.
  Пример 1

Представьте функцию  формулой Маклорена.

  Решение

Формула Маклорена для функции  имеет вид . Чтобы получить формулу Маклорена для заданной функции, нужно  заменить на .

.

  Пример 2

Представьте функцию  формулой Тейлора в точке .

  Решение

Сделаем замену , тогда  и . Функцию  представим формулой Маклорена. Тогда

.

Заменяя в последней формуле , получим формулу Тейлора для функции  в точке

.
 
Hosted by uCoz