Если функция   раз дифференцируема в окрестности точки  и все ее производные до производной  - го порядка равны нулю, то есть , а , то:

   если  - нечетное число  в точке перегиб;

   если  - четное число  в точке  экстремум.

Если при четном :

 - точка минимума;

 - точка максимума.

Представим функцию в окрестности точки  формулой Тейлора:

.

Так как , то формула примет вид

.

Учитывая это и используя форму Лагранжа для записи остаточного члена, получим

,

где . Проведем некоторые упрощения

   (1)

и сделаем замену

,   ,

.

Ясно, что в достаточно малой окрестности  знак  определяется знаком производной . Учитывая сделанную замену, равенство (1) перепишем в переменных  и .

.

В достаточно малой окрестности  исследуемая функция ведет себя так же, как и степенная функция  в окрестности точки . В зависимости от четности показателя степени  и от знака коэффициента  (рис.30), можно сделать вывод:

Рис. 30 a           Рис. 30 b.

-   если число  - нечетное, то в точке  перегиб (рис.30 a);

-   если число  - четное, то в точке  экстремум; максимум при  и минимум при  (рис.30 b).

Исследуйте поведение функции  в точке .

. .

.  . .

Упростим третью производную и продифференцируем функцию еще раз:

. .

Поскольку , то, функция имеет в точке  минимум.